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1、第32卷第4期重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2015年4月Vol.32NO．4JChongqingTechnolBusinessUniv.(NatSciEd)Apr．2015doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2015．0004．010*常微分方程解的存在唯一性定理證明聶東明，李海霞，劉家保(安徽新華學(xué)院公共課教學(xué)部，合肥230088)摘要:微分方程解的存在唯一性證明一直以來都是教學(xué)的難點，運用不同方法，從不同角度討論一階微分方程解的存在唯一性，以期能有更好的方法證明解的存在唯一性．關(guān)鍵詞:常微分方程;初值問題;解的存在唯一中圖分類
2、號:O175．1文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1672－058X(2015)04－0036－04常微分方程是一門應(yīng)用性較強的課程，它在數(shù)學(xué)、物理、天文和工程技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用．一階微分方程初值問題解的存在唯一性定理既是微分方程的理論基礎(chǔ)，又是常微分方程的精華所在，在很多教材［1－3］［4，5］中都是作為重點章節(jié)來講述，而且一階微分方程解的存在唯一性的應(yīng)用也很廣泛．此處從幾個不同方面對解的存在唯一性定理加以明．dx解的存在唯一性定理一階微分方程=f(t，x)的Cauchy初值問題dtdx=f(t，x){dt(1)x(t0)=x0若函數(shù)f(t，x)在矩形區(qū)域Ｒ=
3、{(t，x)
4、t－t0≤a，x－x0≤b}滿足(1)f(t，x)在Ｒ上連續(xù);(2)函數(shù)f(t，x)在Ｒ上關(guān)于x滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L＞0，使得對所有(t，x1)，(t，x2)∈Ｒ都有f(t，x1)－f(t，x2)≤Lx1－x2成立，則初值問題(1)在區(qū)間t－t0≤h上存在唯一解，其中h=minb{a，}，M=maxf(t，x)．M(t，x)∈Ｒ對于該定理，函數(shù)的連續(xù)性是為了保證方程解的存在，而Lipschitz條件是為了保證方程解的唯一性．1解的存在性證法1用Picard逼近方法證明．僅在［t0，t0+h］證明該問題，在［t0－h(huán)，t0］
5、上類似可得．顯然該問題解的存在性與積分方程(2)的解等價tx=x0+∫f(s，x(s))ds，t0≤t≤t0+h(2)t0構(gòu)造picard序列{φn(t)}，即令收稿日期:2014－08－19;修回日期:2014－09－25．*基金項目:安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)基金項目(KJ2013B105);安徽新華學(xué)院質(zhì)量工程(2012jgkcx03);安徽新華學(xué)院精品課程(2012jpkc03)．作者簡介:聶東明(1981-)，女，河南南陽人，講師，碩士研究生，從事偏微分方程研究．第4期聶東明，等:常微分方程解的存在唯一性定理證明37φ0(t)=x0，t0≤t≤t
6、0+ht(3){φn(t)=x0+∫f(s，φn－1(s))ds，t0≤t≤t0+h，n=1，2…t0命題1該序列在[t0，t0+h]上有定義且連續(xù)，并且φn－x0≤b．證明由于f(t，x(t))在矩形區(qū)域Ｒ上連續(xù)，則{φn(t)}在[t0，t0+h]上連續(xù)．當(dāng)n=1時，ttφ1－φ0=∫f(s，φ0(s))ds≤∫f(s，φ0(s))ds≤Mt－t0≤Mh≤bt0t0假設(shè)當(dāng)n－1時成立，即φn－1在[t0，t0+h]上有定義且連續(xù)，且φn－1－x0≤b，則ttφn－φ0=∫f(s，φn－1(s))ds≤∫f(s，φn－1(s))ds≤Mt－t0≤Mh≤b
7、t0t0由歸納法知{φn(t)}在[t0，t0+h]上有定義連續(xù)且φn－x0≤b．命題2序列{φn(t)}在[t0，t0+h]上一致收斂．∞證明考察函數(shù)項級數(shù)φ0(t)+Σ［φn(t)－φ0(t)］，顯然函數(shù)項級數(shù)的部分和為φn(t)．故要證命題n=12，只需證明函數(shù)項級數(shù)一致收斂即可．由于ttφ1－φ0=∫f(s，φ0(s))ds≤∫f(s，φ0(s))ds≤M(t－t0)t0t0tφ2－φ1=∫f(s，φ1(s))－f(s，φ0(s))ds≤t0tL∫φ1(s)－φ0(s)ds≤t0tLM2LM∫(s－t0)ds=(t－t0)t02!n－1LMn依次類
8、推，假設(shè)φn－φn－1≤(t－t0)，則n!tφn+1－φn=∫[f(s，φn(s))－f(s，φn－1(s))]ds≤t0tL∫φn(s)－φn－1(s)ds≤t0ntnLMnLMn+1∫(s－t0)ds=(t－t0)n!t0(n+1)!nnLMn+1MLn+1則由數(shù)學(xué)歸納法可知φn+1－φn≤(t－t0)≤h，由比值判別法可知級(n+1)!(n+1)!∞n∞MLn+1數(shù)Σh收斂．故由Weierstrass判別法得級數(shù)φ0(t)+Σ［φn(t)－φ0(t)］一致收斂．n=1(n+1)!n=1命題3limφ(t)=φ(t)是積分方程的解．n→∞n證明由于{
9、φn(t)}在[t0，t0+h]上一致收斂，令limφn(t)=φ
