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《常微分方程2.2解的存在唯一性定理》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§2.2解的存在唯一性定理和 逐步逼近法/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/概念和定義存在唯一性定理內(nèi)容提要/ConstantAbstract/§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod本節(jié)要求/Requirements/?掌握逐步逼近方法的本思想?深刻理解解的存在唯一性定理的條件與結(jié)論§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod一、概念
2、與定義/ConceptandDefinition/1.一階方程的初值問題(Cauchyproblem)表示§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2.利普希茲條件函數(shù)稱為在矩形域:…………(3.1.5)關(guān)于y滿足利普希茲(Lipschitz)條件，如果存在常數(shù)L>0使得不等式對(duì)所有都成立。L稱為利普希茲常數(shù)?！?.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod二、存在唯一性定理定理1如果f(x,y)在
3、R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件,則方程(3.1.1)存在唯一的連續(xù)解定義在區(qū)間,且滿足初始條件這里§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod定理1的證明需要證明五個(gè)命題：?命題1求解微分方程的初值問題等價(jià)于求解一個(gè)積分方程?命題2構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的逐步逼近序列?命題3證明此逐步逼近序列一致收斂?命題4證明此收斂的極限函數(shù)為所求初值問題的解?命題5證明唯一性§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMetho
4、d定理1的證明命題1設(shè)是初值問題的解的充要條件是是積分方程……(3.1.6)的定義于上的連續(xù)解。證明:微分方程的初值問題的解滿足積分方程（3.1.6）。積分方程（3.1.6）的連續(xù)解是微分方程的初值問題的解?！?.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod證明因?yàn)槭欠匠?3.1.1)的解，故有:兩邊從積分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是積分方程在上的連續(xù)解.§2.2Existence&UniquenessTheorem&Progressiv
5、eMethod反之，如果是(3.1.6)的連續(xù)解，則有：………(3.1.8)微分之，得到:又把代入(3.1.8)，得到:因此，是方程(3.1.1)定義于上，且滿足初始條件(3.1.2)的解。命題1證畢.同理，可證在也成立?！?.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod現(xiàn)在取，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下:§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethodxyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-
6、hx0+h§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod命題2對(duì)于所有的(3.1.9)中函數(shù)在上有定義、連續(xù)，即滿足不等式:證明:（只在正半?yún)^(qū)間來證明，另半?yún)^(qū)間的證明類似）當(dāng)n=1時(shí),§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod即命題2當(dāng)n=1時(shí)成立?，F(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任何正整數(shù)n，命題2都成立。即當(dāng)n=k時(shí)，在也就是滿足不等式在上有定義,連續(xù)上有定義，連續(xù)，而當(dāng)n=k+1時(shí)，上有定義，連續(xù)。
7、在§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod即命題２在n=k＋１時(shí)也成立。由數(shù)學(xué)歸納法得知命題２對(duì)于所有n均成立。命題３在上是一致收斂的。命題２證畢函數(shù)序列考慮級(jí)數(shù):它的部分和為：§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod為此，進(jìn)行如下的估計(jì)，由逐步逼近序列(3.1.9)有:§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod設(shè)對(duì)于正整數(shù)n,不等式
8、成立，于是，由數(shù)學(xué)歸納法得到：對(duì)于所有的正整數(shù)k，有如下的估計(jì):§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod由此可知，當(dāng)時(shí)(3.1.14)的右端是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，由維爾斯特拉斯(Weierstrass)判別法(簡(jiǎn)稱維氏判別法),級(jí)數(shù)(3.1.11)在上一致收斂,因而序列也在上一致收斂。命題3證畢§2.2Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveM
