常微分方程1.2 解的存在唯一性

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1、§1.2解的存在惟一性對(duì)于給定的微分方程，它的通解一般有無限多個(gè)，而給定初始條件后，其解有時(shí)惟一，有時(shí)不惟一.給定初始條件的微分方程解的存在惟一性?(一)它是數(shù)值解和定性分析的前提;(二)若實(shí)際問題中建立的方程模型的解不是存在且惟一的，該模型就是一個(gè)壞模型.1例1:初值問題有解:.它的存在區(qū)間為例2:初值問題的解為:存在區(qū)間為初值問題的解:2例3:初始值問題:有無窮多解,存在區(qū)間為:31.2.1例子和思路例4:證明初值問題的解存在且惟一。證：若是初始值問題的解,兩端積分滿足反之，若一個(gè)連續(xù)函數(shù)滿足則它是的解。4……取來證明構(gòu)造迭代序列有解．5由于收斂，且代入驗(yàn)證函數(shù)為初值問題的解,這就得

2、到解的存在性。惟一性證明:設(shè)有兩個(gè)解則可微，且滿足這就證明了惟一性。61.2.2存在惟一性定理及其證明設(shè)在矩形區(qū)域上連續(xù)，如果有常數(shù)L>0,使得對(duì)于所有的都有:考慮微分方程:Lipschitz條件:(1.2.3)7L稱為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)。則稱在R上關(guān)于y滿足Lipschitz條件。注:若關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則在R上關(guān)于y滿足Lipschitz條件。8一的解，其中上存在惟證明：定理1:在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足若（１）將初值問題解的存在惟一性化為積分方程解的存在惟一性．思路：在區(qū)間Lipschitz條件，則初值問題(1.2.3)9（２）構(gòu)造積分方程迭代函數(shù)序列.（４）證明該序列的極限是積

3、分方程的解．（５）證明惟一性．僅考慮上存在.詳細(xì)證明：(1)等價(jià)積分方程的解等價(jià)。初值問題與積分方程(1.2.3)（３）證明該迭代序列收斂．10（2）構(gòu)造Picard迭代數(shù)列這樣就得到一個(gè)連續(xù)函數(shù)列Picard迭代序列。它稱為11（3)Picard序列的收斂性引理1.1對(duì)于一切續(xù)且滿足連.則證明:顯然對(duì)一切的都有有定義且上滿足:設(shè)在區(qū)間連續(xù),12證明：考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)估計(jì)級(jí)數(shù)通項(xiàng):于是的一致收斂性與級(jí)數(shù)的一致收斂性等價(jià)。引理1.2上一致收斂。函數(shù)列它的前項(xiàng)的部分和為:13其中第二個(gè)不等式由Lipschitz條件可以得到，設(shè)：對(duì)有14于是，由數(shù)學(xué)歸納法得，對(duì)于所有自然數(shù)k，有級(jí)數(shù)在上一致收斂

4、。因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂,由Weiestrass判別法知，設(shè):由的連續(xù)性和一致收斂性可得:在上連續(xù).15（4）Picard迭代數(shù)列的極限函數(shù)就是積分方程的連續(xù)解。引理1.3是積分方程定義于上的連續(xù)解。證明：由Lipschitz條件以及在上的一致收斂，得出函數(shù)序列在一致收斂于函數(shù).上16因而對(duì)取極限，得即這表明是積分方程的連續(xù)解。17（5）解的惟一性證明：則引理1.4上的連續(xù)解，則必有是積分方程在設(shè)和令1819注1:定理中的幾何意義:故取.注2:函數(shù)的連續(xù)性保證解的存在性,Lipschitz條件保證解的惟一性．注３:定理的結(jié)論只是在局部范圍內(nèi)給出解的存在惟一性．可反復(fù)使用該定理，使解的范圍延拓到

5、最大的區(qū)間．在解有可能跑到之外．20的解證明：取在矩形區(qū)域：連續(xù)，且它關(guān)于y有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。例５　證明初始值問題：計(jì)算21對(duì)等價(jià)的積分方程得故由解得存在唯一性定理可知，初始值問題的內(nèi)存在唯一。當(dāng)然也在內(nèi)存在唯一，解22內(nèi)連續(xù)，且對(duì)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)．因任意．先取使最大．對(duì)于任意的正數(shù)函數(shù)在解：的解存在唯一的區(qū)間．例６討論初始值問題23顯然使得最大，且取則由定理得解的存在惟一區(qū)間為：再使用依次存在惟一性定理：，以令為區(qū)域的中心，討論新的初始值問題：24當(dāng)時(shí)，取得最大值此時(shí)故取可得到解在上存在，事實(shí)上，初值問題的解是：存在區(qū)間為：2526內(nèi)容小結(jié)微分方程解的存在惟一性P.222，3（1，4）作業(yè)

6、迭代法構(gòu)造解的思想27