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《3. 一階常微分方程解的存在唯一性》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第三章一階常微分方程解的存在唯一性本章主要介紹和證明一階微分方程解的Picard存在和唯一性定理，解的延拓，解對初值的連續(xù)性和可微性等概念。3.1Picard存在唯一性定理3.1.1一階顯式微分方程考慮一階顯式常微分方程的初值問題80，使得以下不等式jf(x;y1)?f(x;y2)j·Ljy1?y2j對8(x;y1);(x;y2)2R都成立，則稱函數(shù)f
2、(x;y)在區(qū)域R內關于y滿足Lipschitz條件，常數(shù)L稱為Lipschitz常數(shù)。定理3.1(Picard存在唯一性定理)若函數(shù)f(x;y)在區(qū)域R=[x0?a;x0+a]￡[y0?b;y0+b]上連續(xù)，而且關于y滿足Lipschitz條件，那么常微分方程初值問題(3.1)在區(qū)間I=[x0?h;x0+h]上存在唯一解，其中常數(shù)??bh=mina;;M=maxjf(x;y)jM(x;y)2R〖證明〗證明過程分3步。12第三章一階常微分方程解的存在唯一性(1)首先證明微分方程初值問題(3.1)等價于積分方程
3、Zxy(x)=y0+f(t;y(t))dt(3.2)x0即如果連續(xù)可微函數(shù)y(x)滿足微分方程(3.1)，則它一定滿足積分方程(3.2)；如果連續(xù)函數(shù)y(x)滿足積分方程(3.2)，則它一定連續(xù)可微，而且滿足微分方程(3.1)。（一般，一個函數(shù)作為微分方程的解被要求是連續(xù)可微的，而作為積分方程的解僅要求連續(xù)。）具體證明如下：如果y='(x)(x2I)是方程(3.1)的解，就有d'(x)=f(x;'(x))dx上式兩邊從x0到x取定積分可得Zx'(x)?'(x0)=f(t;'(t))dtx0把定解問題(3.1)
4、的初始條件'(x0)=y0代入上式可得Zx'(x)=y0+f(t;'(t))dtx0因此，y='(x)是積分方程(3.2)的定義在I上的連續(xù)解。反之，如果y='(x)(x2I)是(3.2)的連續(xù)解，則有Zx'(x)=y0+f(t;'(t))dt;x2I(3.3)x0上式兩端關于x求導可得d'(x)=f(x;'(x))dx同時，把x=x0代入(3.3)就得到'(x0)=y0因此，y='(x);x2I是初值問題(3.1)的解，且滿足連續(xù)可微。(2)用Picard逐次逼近法證明解的存在性。具體方法為：構造積分方程(
5、3.2)的一組近似解，證明近似解的極限滿足積分方程(3.2)，從而證明解的存在性。任取一個R上的連續(xù)函數(shù)y='0(x)代入積分方程(3.2)右端，就得到Zx'1(x)=y0+f(t;'0(t))dtx03.1PICARD存在唯一性定理3顯然，'1(x)也是連續(xù)函數(shù)。如果'1(x)='0(x)，那么'0(x)就是積分方程(3.2)的解。否則，繼續(xù)將y='1(x)代入積分方程(3.2)右端得到Zx'2(x)=y0+f(t;'1(t))dtx0由于f(x;y)是閉矩形R上的連續(xù)函數(shù)，因此必須驗證當jx?x0j·h時
6、，j'1(x)?y0j·b，否則f(t;'1(t))不一定有定義，那么下一步就做不下去了。具體驗證如下：當jx?x0j·h時，ˉZˉˉZˉˉxˉˉxˉj'1(x)?y0j=ˉˉf(t;'0(t))dtˉˉ·ˉˉjf(t;'0(t))jdtˉˉ·Mjx?x0j·Mh·bx0x0因此，'2(x)也是連續(xù)函數(shù)。如果'2(x)='1(x)，那么'1(x)就是積分方程(3.2)的解。否則，繼續(xù)這一步驟，一般可得到Zx'n(x)=y0+f(t;'n?1(t))dt(3.4)x0同樣，利用數(shù)學歸納法我們可以驗證當x2I時，
7、j'n(x)?y0j·b(n>1)。為此，假設當n=k時成立j'k(x)?y0j·b;x2I那么，當n=k+1時，Zx'k+1(x)=y0+f(t;'k(t))dt;x2Ix0于是，當x2I時，ˉZˉˉZˉˉxˉˉxˉj'k+1(x)?y0j=ˉˉf(t;'k(t))dtˉˉ·ˉˉjf(t;'k(t))jdtˉˉ·Mjx?x0j·Mh·bx0x0這樣，就有了一個連續(xù)函數(shù)的序列'0(x);'1(x);￠￠￠;'n(x);￠￠￠稱為Picard序列。在生成該函數(shù)序列的時候，如果有'n+1(x)='n(x)，那么'
8、n(x)就是積分方程(3.2)的解；否則可以證明：'n(x)(n=1;2;￠￠￠)當x2I時一致收斂到某一連續(xù)函數(shù)'(x)。具體證明如下：3′3′3′由于'n(x)='0(x)+'1(x)?'0(x)+'2(x)?'1(x)+￠￠￠+'n(x)?'n?1(x)，P1故只需證明無窮級數(shù)'0(x)+['n+1(x)?'n(x)]在I上一致收斂即可。采用數(shù)學n=0歸納法來證明：特別，取'0(x)=y0，則
