常微分方程課件-解的存在唯一性定理

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1、目錄上頁下頁返回結(jié)束§2.2解的存在惟一性定理引入：對于給定的微分方程,它的通解一般有無限多個,而給定初始條件后,其解有時惟一,有時不惟一.確定給定初始條件的微分方程解的存在惟一性十分重要:(一)它是數(shù)值解和定性分析的前提;(二)若實際問題中建立的方程模型的解不是存在且惟一的,該模型就是一個壞模型.而同一方程滿足例1:初值問題有解:在.的解為:.它的存在區(qū)間為例2:初值問題的解為:存在區(qū)間為例3:初始值問題:有無窮多解,存在區(qū)間為:2.2.1例子和思路例4:證明初值問題的解存在且惟一。證：若是初始值問題的解,兩端

2、積分滿足反之，若一個連續(xù)函數(shù)滿足則它是的解?！碜C明構(gòu)造迭代序列有解．由于收斂，且代入驗證函數(shù)為初值問題的解,這就得到解的存在性。惟一性證明:設(shè)有兩個解則可微，且滿足這就證明了惟一性。2.2.2存在惟一性定理及其證明設(shè)在矩形區(qū)域上連續(xù)，如果有常數(shù)L>0,使得對于所有的都有:考慮微分方程:Lipschitz條件:(2.2.3)L稱為Lipschitz常數(shù)。則稱在R上關(guān)于y滿足Lipschitz條件。注:若關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則則在R上關(guān)于y滿足Lipschitz條件。定理1:在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足在區(qū)間Lips

3、chitz條件，則初值問題一的解，其中上存在惟證明：若（１）將初值問題解的存在惟一性化為積分方程的解的存在惟一性．思路：(2.2.3)（２）構(gòu)造積分方程迭代函數(shù)序列，并證明該序列收斂．（３）證明該序列的極限是積分方程的解．（４）證明惟一性．僅考慮上存在.詳細證明：的解等價。(1)等價積分方程初值問題與積分方程(2.2.3)（2）構(gòu)造Picard迭代數(shù)列這樣就得到一個連續(xù)函數(shù)列Picard迭代序列。它稱為（3)Picard序列的收斂性引理1.1對于一切續(xù)且滿足連.證明:顯然對一切的都有有定義且連則上滿足:設(shè)在區(qū)間續(xù)

4、,證明：考慮函數(shù)項級數(shù)它的前估計級數(shù)通項:于是的一致收斂性與級數(shù)的一致收斂性等價。引理2.2上一致收斂。函數(shù)列項的部分和為:其中第二個不等式由Lipschitz條件可以得到，設(shè)：對有于是，由數(shù)學(xué)歸納法得，對于所有自然數(shù)k，有級數(shù)在上一致收斂。因為正項級數(shù)收斂,由Weiestrass判別法知，設(shè):由的連續(xù)性和一致收斂性可得:在上連續(xù).（4）Picard迭代數(shù)列的極限函數(shù)就是積分方程的連續(xù)解。引理1.3是積分方程定義于上的連續(xù)解。證明：由Lipschitz條件以及在上的一致收斂，得出函數(shù)序列在上一因而對取極限，得即這

5、表明是積分方程的連續(xù)解。收斂于函數(shù).（5）解的惟一性證明：則引理1.4上的連續(xù)解，則必有是積分方程在設(shè)和令上的連續(xù)可微函數(shù)，則是定義于且令于是注1:定理中的幾何意義:故取.注2:函數(shù)的連續(xù)性得解的存在性,Lipschitz條件得解的惟一性．注３:定理的結(jié)論只是在局部范圍內(nèi)給出解的存惟一性．在許多情況下，可反復(fù)使用該定理，使解的范圍延拓到最大的區(qū)間．則在解有可能跑到之外．的解證明：取在矩形區(qū)域：連續(xù)，且它關(guān)于y有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。計算例５證明初始值問題：對等價的積分方程得故由解得存在唯一性定理可知，初始值問題的解內(nèi)存在

6、唯一，當(dāng)然也在內(nèi)存在唯一。對于任意的正數(shù)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且對有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)．因任意．先取使最大．解：的解存在唯一的區(qū)間．例６討論初始值問題顯然使得最大，且取則由定理得解的存在惟一區(qū)間為：再使用依次存在惟一性定理：，以令為區(qū)域的中心，討論新的初始值問題：當(dāng)時，取得最大值此時故取可得到解在上存在，事實上，初值問題的解是：存在區(qū)間為：內(nèi)容小結(jié)微分方程解的存在惟一性迭代法構(gòu)造解的思想