奧數(shù)：小學(xué)奧數(shù)系列：第09講 枚舉法

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1、第09講計(jì)數(shù)問(wèn)題第01講枚舉法例1如圖9—1，有八張卡片，上面寫(xiě)著自然數(shù)1至8．從中取出三張，要使三張卡片上的數(shù)字之和為9．問(wèn)有多少種不同的取法?答案3種．分析三個(gè)數(shù)之和為9，則這三個(gè)數(shù)中任兩個(gè)數(shù)之和必小于9，依據(jù)這個(gè)原則進(jìn)行枚舉就可以．而且三個(gè)數(shù)中不能寫(xiě)有7、8，否則三數(shù)和必大于9．詳解由于三個(gè)數(shù)和為9，且最小二個(gè)數(shù)可取1和2，所以最大的數(shù)只可為6．這樣依據(jù)最大的數(shù)從6不斷往下取來(lái)枚舉：6、2、1；5、3、1；4、3、2．共有3種不同取法，所以答案為3．評(píng)注通常解題時(shí)，應(yīng)從條件推出一些基本結(jié)論，這樣可以減少枚舉的范圍，得出結(jié)論．例2現(xiàn)有1分、2分和5分的硬幣各四枚，用其中

2、的一些硬幣付2角3分錢(qián)，一共有多少種不同的支付方法?答案5種．分析由于要付2角3分錢(qián)，而其中1分、2分的硬幣加起來(lái)共3×4=12分，因此必須用上5分硬幣，而且至少要3枚5分硬幣，否則最多只能付2角2分錢(qián)(因?yàn)?2+2×5=22分)．詳解由于所有1分、2分硬幣加起來(lái)共1角2分，因而至少要另外付3個(gè)5分硬幣．所以分用去4個(gè)5分硬幣和3個(gè)5分硬幣兩種情況枚舉：①先付3個(gè)5分便幣，再用1分、2分幣付剩下的8分錢(qián)．這時(shí)有用4個(gè)2分、3個(gè)2分和2個(gè)1分、2個(gè)2分及4個(gè)1分共3種情形．②先付4個(gè)5分硬幣，再用1分、2分付剩下的3分錢(qián)．這時(shí)有用1個(gè)2分1個(gè)1分、3個(gè)1分共2種情形．所以，一

3、共有5種不同的支付方法．例3有3個(gè)工廠共訂300份《吉林日?qǐng)?bào)》，每個(gè)工廠最少訂99份，最多101份．問(wèn)：一共有多少種不同的訂法?答案7種．分析3個(gè)工廠共訂300份，最少訂99份，這里先把99份作為基本訂數(shù)，因而相當(dāng)于把剩下的3份在3個(gè)工廠間分配一下．又由于最多101份，也即是一個(gè)工廠最多再分配2份．這樣再按0、1、2枚舉即可．詳解先考慮用每個(gè)工廠訂99份為基數(shù)，剩下的3份報(bào)紙分配在3個(gè)工廠中可以有以下幾種方式：0、1,2；0、2、1；1、0、2；1、2,0；1、1、1；2、0、1；2、1、0．共7種的訂法．對(duì)應(yīng)實(shí)際份數(shù)為：99、100、101；99、101、100；100、

4、99、101；100、101、99；100、100、100；101、99、100；101、100、99．一共有7種不同的訂法．’例4有25本書(shū)，分成6份，每份至少1本，且每份的本數(shù)都不相同．問(wèn)有多少種分法7．答案5種分法．分析這里每份至少1本且每份的本數(shù)都不相同，這樣6份至少有1+2+3+4+5+6=21本書(shū)；若最少一份為2本，則至少有2+3+4+5+6+7=27本書(shū)．因此最少1份至多是1本書(shū)．這樣可以從第二少的份數(shù)入手．詳解從上面分析知，把6份的書(shū)數(shù)從小到大排列，最少一份為1本，因此下面的枚舉應(yīng)從第二小的本數(shù)來(lái)入手．若第二小的本數(shù)是3本，則6份本數(shù)至少有1+3+4+5+6

5、+7=26本，因此第二小的本數(shù)應(yīng)為2本．這樣再枚舉如下：1+2+3+4+5+10；1+2+3+4+6+9，1+2+3+4+7+8；1+2+3十5+6+8；1+2+4+5+6+7．上面枚舉是按第三本的本數(shù)從3到4枚舉的．因此一共5種不同分法．說(shuō)明在枚舉時(shí)關(guān)鍵是從題意分析找出一個(gè)枚舉的順序，有了順序才能不重不漏．例5甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)排成一行，從左到右數(shù)，如果甲不排在第一位置上，乙不排在第二位置上，丙不排在第三個(gè)位置上，丁不排在第四個(gè)位置上，那么不同的排法共有多少種?答案9種．分析根據(jù)題意，由于甲不在第一位置上，這樣甲只能在二、三、四位置上，從而第一位上必能放乙、丙、丁這三

6、種情形。然后再根據(jù)第二位置上的條件來(lái)進(jìn)行枚舉即可．詳解按第一位置上放乙、丙、丁三種情形．若乙在第一位置上，則有乙甲丁丙、乙丁甲丙、乙丙丁甲三種情形．若丙在第一位置上，則有丙甲丁乙、丙丁甲乙、丙丁乙甲，共三種情形．若丁在第一位置上，則有丁甲乙丙、丁丙甲乙、丁丙乙甲、三種情形．，因此三種情形一共是9種．例6一個(gè)兩位數(shù)乘以5，所得的積是一個(gè)三位數(shù)，且這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位與百位數(shù)字的和恰好等于十位上的數(shù)字．問(wèn)一共有多少個(gè)這樣的數(shù)?答案8個(gè)．分析這個(gè)三位數(shù)設(shè)為，且可以被5整除，由被5整除數(shù)特征知c=0或5．而且由于它是由一個(gè)二位數(shù)乘以5而得到，因此還應(yīng)小于500．由條件b=a+C也可以確

7、定出b的值個(gè)數(shù)．詳解設(shè)三位數(shù)為．，由分析知5，c為0或5．當(dāng)c=0時(shí)，b=a+c，比500小，則a=1、2、3、4，對(duì)應(yīng)b=1、2、3、4．共4種．若C=5時(shí)，a=1、2、3、4，對(duì)應(yīng)b=6、7、8、9．也是4種情形．因此一共是8種情形．例7甲、乙兩人打乒乓球，誰(shuí)先連勝兩局誰(shuí)贏．如果沒(méi)有人連勝頭兩局，則誰(shuí)先勝三局誰(shuí)贏，打到?jīng)Q出輸贏為止．那么一共有多少種可能的情況?答案14種．分析為方便枚舉，我們用甲表示甲贏，用乙表示乙贏．由于有二種大情形可決輸贏，一是勝頭二局，一是勝三局，因而枚舉應(yīng)分這兩大類(lèi)進(jìn)行．然后再設(shè)甲勝出、