奧數(shù)：小學(xué)奧數(shù)系列：第09講 計數(shù)問題第06講

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1、第09講計數(shù)問題第06講計數(shù)綜合之二例1一條直線分一個平面為兩部分，二條直線最多分這個平面為四部分．問五條直線最多分這個平面為多少部分?答案16部分．分析同學(xué)嘗試一下就可以知道五條直線可以把一個平面分成很多很多的部分，甚至就連數(shù)一下有多少部分都很困難，更別說最多有多少部分了．因此我們要調(diào)整一下思路。例如說考慮直線數(shù)目從少到多逐漸增加的情況，看看每增加一條直線會增加多少部分．詳解平面上已畫了若干條直線，把平面分成了若干部分．現(xiàn)在我們再畫一條直線，看看會產(chǎn)生什么效果．這條直線把它通過的每個部分分成兩個部分，而它沒通過的部分則保持原狀．

2、所以這條直線通過了多少部分，它將使平面增加了多少部分．又因?yàn)檫@條直線通過的部分的數(shù)目就等于和它有交點(diǎn)的直線的數(shù)目加1，所以要想多增加分割的部分，就應(yīng)該讓這條直線和所有的直線都相交．所以五條直線最多可以把一個平面分為：1+1+2+3+4+5=16個部分．評注遞推是一種強(qiáng)有力的解決數(shù)學(xué)問題的工具，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)盡快熟悉這一方法．例2在平面上畫五個圓和一條直線，最多可把平面分成多少部分?答案32個部分．分析這一題和一題類似，只是把直線換成了圓．直線與直線最多有一個交點(diǎn)，而圓與圓至多兩個交點(diǎn)，這是這兩題的區(qū)別所在．詳解我們先考慮五個圓可以把平

3、面分成幾個部分，最后再把直線加上．因?yàn)閮蓚€圓可以有兩個交點(diǎn)，所以增加一個圓可以產(chǎn)生的交點(diǎn)數(shù)為2×原有圓數(shù)，這也就是多增加的部分?jǐn)?shù)．所以五個圓最多可以把平面分成2+2+4+6+8=22個部分．而一條直線和這五個圓最多有10個交點(diǎn)，所以又可增加10個部分．所以所求的答案為22+10=32．例3用圖9—1所示的1×2小長方形和1×3小長方形去覆蓋如圖19—2所示的填有數(shù)字的2X6方格表，共有多少種不同的蓋法?答案30種．分析容易知道1×3的小長方形的塊數(shù)為偶數(shù)，因此是0、2、4之一，用這種方法進(jìn)行分類可以推出答案，但卻很麻煩．我們可以采

4、取遞推的辦法，依次考慮2×1、2N2、2×3、2×4,2X5的方格表．詳解用S。表示用1X2小長方形和1×3小長方形去覆蓋2×n方格表的不同蓋法的數(shù)目，其中n是一個自然數(shù)．2×1的方格表只能用一個1×2小長方形去覆蓋，因此S1：1．如圖9—3，蓋住2×2方格表的數(shù)字1的小長方形有兩種擺法．對于第一種擺法，3和4必然被同一個1X2小長方形覆蓋．而對于后一種情況，剩下未被蓋住的部分是一個2×1方格表，所以有如圖9—4，蓋住2×3方格表的1的小長方形有3種擺法．對于第一種情況，4、5、6這三個數(shù)必然被一個1×3小長方形蓋?。畬τ诘诙N情

5、況，4和5必然被一個1X2小長方形蓋住，余下一個2×1方格表．對于第三種情況，余下的是一個2×2方格表。所以有如圖9—5，蓋住2X4方格表的1的小長方形有3種擺法類似地可以得到如圖9—6，蓋住2×5方格表的1的小長方形有3種擺法．對于第一種擺法，有如圖9—7所示的兩種情況．對于第二種擺法，也有如圖9—8所示的兩種情況．所以有類似地，對于2×6方格表也有7種情況，所以有這也就是說，對于2×6方格表，共有30種不同的蓋法．例4對一個自然數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則加1．如此進(jìn)行直到得數(shù)為1，操作停止．問經(jīng)過幾次操作變

6、為1的數(shù)有多少個?答案34個．分析如果一個數(shù)操作一次后，變成了一個經(jīng)過八次操作變?yōu)?的數(shù)，那么它就是一個經(jīng)過九次操作變?yōu)?的數(shù)．反過來也是一樣．所以應(yīng)該用遞推．詳解分別用和來表示經(jīng)過次操作變?yōu)?的數(shù)中的偶數(shù)和奇數(shù)的個數(shù)，其中n是自然數(shù)．如果m是一個經(jīng)過n-1次操作變?yōu)?的大于2的偶數(shù)，那么m-1這個奇數(shù)和2×m這個偶數(shù)都是經(jīng)過n次操作變?yōu)?的數(shù)；如果m是一個經(jīng)過n一1次操作變?yōu)?的奇數(shù)，那么2×m是經(jīng)過n次操作變?yōu)?的偶數(shù)．容易知道2經(jīng)過1次操作變?yōu)?，所以當(dāng)靠是大于等于3的自然數(shù)時，有：又因?yàn)椋钥梢酝瞥觯核越?jīng)過九次操作變?yōu)?/p>

7、1的數(shù)的數(shù)目為評注這是遞推問題中相當(dāng)難的一道題，如果你獨(dú)立解決了這道題，那么說明你已經(jīng)完全掌握了遞推這種方法．另外等同學(xué)們學(xué)習(xí)二進(jìn)制數(shù)以后，會對這題有進(jìn)一步的理解．例5有一個長方形，它的各邊的長度都是小于10的自然數(shù)．如果用寬作分子，用長作分母，那么所得的分?jǐn)?shù)值比要大，比要小．那么滿足上述條件的各個長方形的面積之和是多少?答案133．分析這題不必用遞推法，因?yàn)闈M足要求的長方形很少．簡單地分一下類就可以了．詳解當(dāng)長為9×，寬應(yīng)當(dāng)在9×孟和9×之間，因此寬為3或4．當(dāng)長為8時，寬在8×和8×之間，因此寬為3．當(dāng)長為7時，寬在7×和7×

8、之間，因此寬為3．當(dāng)長為6時，寬為6×和6×之間，因此寬為2．當(dāng)長為5時，寬在5×和5×之間，因此寬為2．當(dāng)長為4時，寬在4×和4×之間，因此不存在這樣的寬．同樣道理可知長不可以為2和1．當(dāng)長為3時，寬在3×和3×之間，因此寬為1．所以，所有滿足要