利用“模型函數(shù)”解決抽象函數(shù)問(wèn)題 專題輔導(dǎo)

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1、利用“模型函數(shù)”解決抽象函數(shù)問(wèn)題潘新鋒動(dòng)物學(xué)家們做過(guò)一次有趣的實(shí)驗(yàn)：把一塊肉用繩子懸在空中，繩子的一端系在樹(shù)枝上鸚鵡想吃到肉，但不能停在半空中來(lái)奪肉。怎么辦？一只鸚鵡經(jīng)過(guò)多次撲騰均遭失敗后，它不再直接撲向肉，而是抓起拴肉的繩子把它一段一段的提起，直到把肉提到自己的面前。這只鸚鵡的做法是值得稱道的，它能給我們以深刻的啟示：當(dāng)直接求解某個(gè)問(wèn)題有困難時(shí)，你可以先解決一個(gè)與此相關(guān)但更簡(jiǎn)單的問(wèn)題，再采用類比抽象的方法尋求解題途徑。函數(shù)部分有一類抽象函數(shù)問(wèn)題，它給定函數(shù)f(x)的某些性質(zhì)，要證明它的其它性質(zhì)，或利用這些性質(zhì)解一些不等式或方

2、程，學(xué)生很感棘手。其實(shí)這些題目的設(shè)計(jì)，一般都有一個(gè)基本函數(shù)做“模型”。如能分析估猜這個(gè)模型函數(shù)，聯(lián)想這個(gè)函數(shù)的其他性質(zhì)來(lái)思考解題方法，那么這類難題就可轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)易問(wèn)題來(lái)處理，請(qǐng)看下面各例：例1設(shè)f(x)是定義在上的增函數(shù)，且（1）求證：（2）求不等式的解集；（3）求證：分析：從條件f(x)是定義在上的增函數(shù)，且欲證結(jié)論可猜測(cè)f(x)的模型函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，至少可以說(shuō)對(duì)數(shù)函數(shù)具有這些基本性質(zhì)。函數(shù)f(x)是是這些性質(zhì)存在的充分條件，而對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是作為這一性質(zhì)為推論而得出的。因此這題的難點(diǎn)，證可由證起步，從而化解難點(diǎn)。解：（1）令

3、則從而（2）因?yàn)樗圆坏仁降葍r(jià)于又因?yàn)閒(x)是定義在上的增函數(shù)。所以解得（3）因?yàn)樗岳?定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x，，都有且（1）求證：；（2）求證：是偶函數(shù)；（3）若存在正常數(shù)c，使①求證：對(duì)任意，有成立。②試問(wèn)函數(shù)是否為周期函數(shù)？如果是，找出它的一個(gè)周期；如果不是，說(shuō)明理由。分析：該題的難點(diǎn)在（3）。但從題給條件x，總有看似像三角函數(shù)的和化為積。再由同種函數(shù)之和化成同種函數(shù)之積，故可猜，而及f(x)為偶函數(shù)又堅(jiān)信了f(x)的模型是cosx，那么中的周期正是欲證題中常數(shù)2c，既探出周期2c，證題的思路就豁然

4、了。證明：（1）令代入得因?yàn)樗詅(0)＝1。（2）令，得所以，所以是偶函數(shù)。（3）①則所以②令得所以（*）又令得所以這樣（*）式變?yōu)橐虼薴(x)是周期函數(shù)，2c是它的一個(gè)周期。例3設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是R，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有且當(dāng)時(shí)，（1）求證：且當(dāng)時(shí)，有（2）判斷f(x)在R上的單調(diào)性；（3）設(shè)集合集合若，求a的取值范圍。分析：根據(jù)所給條件可猜測(cè)f(x)的模型函數(shù)是從而易得如下解法。證明：（1）因?yàn)榱顒t且時(shí)，所以設(shè)所以所以（2）則時(shí)，所以所以所以f(x)在R上單調(diào)遞減。（3）因?yàn)樗杂蒮(x)單調(diào)性知又所以因?yàn)?，所?/p>

5、所以從而例4f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且給出四個(gè)結(jié)論：（1）（2）f(x)是以4為周期的函數(shù)；（3）f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；（4）其中所有正確的命題是_____________。分析：由條件f(x)是奇函數(shù)，且猜測(cè)f(x)的模型函數(shù)是因且猜測(cè)正確命題序號(hào)是（1）（2）（4）。證明：由f(x)是奇函數(shù)得所以即（1）正確。將中－x代替x，得：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以即由知（2）正確。由知（4）正確。抽象函數(shù)的模型函數(shù)往往是不惟一的，如：函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，f(x)的模型函數(shù)可以是函數(shù)等。從以上幾個(gè)例子可以看

6、出，利用“模型函數(shù)”解抽象函數(shù)問(wèn)題，可以先從題設(shè)條件及欲證結(jié)論多方面猜想函數(shù)的模型，以此模型函數(shù)為橋梁，聯(lián)想這模型函數(shù)推證出欲證性質(zhì)的過(guò)程，找出證明抽象函數(shù)其它性質(zhì)的方法，這種解題方法是在不允許用具體函數(shù)代替的基礎(chǔ)上將具體函數(shù)高度抽象后的結(jié)晶，因此解這類題要求思維靈活而深刻，要善于透過(guò)表象和外部聯(lián)系，揭露事物的本質(zhì)和規(guī)律，深入地思考問(wèn)題，系統(tǒng)地、一般地理解問(wèn)題，預(yù)見(jiàn)事物發(fā)展過(guò)程。因此“模型函數(shù)”解題法是培養(yǎng)思維靈活性和深刻性的良好教材。練習(xí)：1、抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而得到的。如正比例函數(shù)可抽象為寫(xiě)出下列抽象函數(shù)是

7、由什么特殊函數(shù)抽象而成的（填入一個(gè)函數(shù)即可）。表1特殊函數(shù)抽象函數(shù)2、已知函數(shù)f(x)，滿足且則3、設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)且是周期為4的周期函數(shù)，在［0，2］上有且只有，求使所有根之和_________。4、設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)任意x，都有且當(dāng)時(shí)，，求f(x)在［－3，3］上的最大值與最小值。5、已知函數(shù)f(x)在（－1，1）有定義，且滿足x，都有證明：（1）f(x)在（－1，1）上為奇函數(shù)；（2）對(duì)數(shù)列中，求