利用圖象解決與二次函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題 專題輔導(dǎo)

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1、利用圖象解決與二次函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題何乃忠何爽初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，這些內(nèi)容是高中學(xué)習(xí)函數(shù)的重要基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)并沒(méi)有再安排二次函數(shù)的課題。二次函數(shù)的內(nèi)容穿插到各章節(jié)之中，遇到的問(wèn)題比初中復(fù)雜，難度變大，同學(xué)們感到困難。本文介紹怎樣通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法，利用二次函數(shù)的圖象解決與二次函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題。一、利用配方法和函數(shù)的圖象求二次函數(shù)的值域及其變式例1已知，求此函數(shù)的值域。解：，畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖1。圖1當(dāng)x=0時(shí)，f(x)有最大值；當(dāng)x=2時(shí)，有最小值。故此函數(shù)的值域?yàn)椋郏?，－4］。注意

2、：解決上述問(wèn)題的步驟是：①配方，②本著先“虛”（定義域外）后“實(shí)”（定義域內(nèi)）的原則畫(huà)出圖象，③根據(jù)“上大下小”的原則確定函數(shù)的值域。例2已知二次方程在［0，3］上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。錯(cuò)解：由，得即為所求。分析：上述解法只保證方程有解，不保證解在［0，3］內(nèi)。事實(shí)上，原方程在［0，3］上有解時(shí)函數(shù)的值存在。由例1知a∈［―8，―4］例3已知對(duì)任意x∈［0，3］，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由原不等式得設(shè)，由例1知t∈［－8，－4］又對(duì)任意x∈［0，3］，a>t恒成立，故。二、利用圖象解決與二次函數(shù)性

3、質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題例4函數(shù)在區(qū)間［1，2］上存在反函數(shù)的充要條件是（）。A、B、C、D、解：①當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸x=a在區(qū)間［1，2］的左側(cè)，即a≤1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。②當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸x=a在區(qū)間［1，2］的右側(cè)，即a≥2時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。由①②知在［1，2］上存在反函數(shù)的充要條件是，應(yīng)選D。例5如果函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有，那么從大到小的排序?yàn)開(kāi)________。解：由，知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2。畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖2，觀察圖象知。注意：設(shè)是二次函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。三、利用圖象解決一元二次方程根的分布問(wèn)題例6

4、已知二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)分別在點(diǎn)（－1，0）的兩側(cè)，求k的取值范圍。解：①當(dāng)時(shí)，的圖象如圖3所示，需滿足。解不等式組，可得，故②當(dāng)時(shí)，的圖象如圖4所示，需滿足解不等式組，可得，故。由①②知。例7方程有絕對(duì)值不大于1的實(shí)數(shù)解，求其中a的取值范圍。解：設(shè)，使有根x∈［－1，1］，注意對(duì)稱軸方程為直線x=3。畫(huà)出函數(shù)y=的圖象如圖5所示，則它與x軸在對(duì)稱軸左側(cè)的交點(diǎn)位于［－1，1］內(nèi)。只需，即，解得故。注意：一元二次方程的根的分布問(wèn)題在圖象上的體現(xiàn)就是拋物線與x軸交點(diǎn)的位置問(wèn)題。四、綜合應(yīng)用例

5、8已知函數(shù)在［0，1］上為減函數(shù)，問(wèn)當(dāng)a取何值時(shí)，y>0在［0，1］上恒成立。解：由配方得，對(duì)稱軸方程為x=a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，－1）。①要使x∈［0，1］時(shí)是減函數(shù)，由函數(shù)y=的圖象如圖6所示，則對(duì)稱軸在直線x=1的右側(cè)，應(yīng)滿足a≥1。②要使x∈［0，1］上>0恒成立，在a≥1的條件下，函數(shù)y=的圖象如圖7所示，需使，即，解得a<0或a>2。由①②知a>2為所求。