高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 三垂線定理 教案

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1、"湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教案：三垂線定理"?教學(xué)目標(biāo)1．進(jìn)一步理解、記憶并應(yīng)用三垂線定理及其逆定理；2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的證明及其初步應(yīng)用；（課本第122頁(yè)第3題）3．理解正方體的體對(duì)角線與其異面的面對(duì)角線互相垂直及其應(yīng)用；4．了解課本第33頁(yè)第11題．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)的重點(diǎn)是進(jìn)一步掌握三垂線定理及其逆定理并應(yīng)用它們來(lái)解有關(guān)的題．教學(xué)的難點(diǎn)是在講公式cosθ1·cosθ2＝cosθ應(yīng)用時(shí)比較θ2與θ的大?。虒W(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程師：上一節(jié)課我們講了三垂線定理及其逆定理的證明并初步應(yīng)

2、用了這兩個(gè)定理來(lái)解一些有關(guān)的題．今天我們要進(jìn)一步應(yīng)用這兩個(gè)定理來(lái)解一些有關(guān)的題，先看例1．例1?如圖1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α內(nèi)，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，設(shè)∠BAC＝θ．求證：cosθ1·cosθ2＝cosθ．師：這是要證明三個(gè)角θ1，θ2和θ的余弦的關(guān)系，θ1已經(jīng)在直角△ABB′中，我們能否先作出兩個(gè)直角三角形分別使θ2和θ是這兩個(gè)直角三角形中的銳角．生：作B′D⊥AC于D，連BD，則BD⊥AC于D．這時(shí)θ2是直角△B′DA中的一個(gè)銳角，θ是直角△ABD中的一

3、個(gè)銳角．師：剛才的表述是應(yīng)用三垂線定理及其逆定理時(shí)常常使用的“套話”，我們一定要很好理解并能熟練地應(yīng)用．現(xiàn)在已經(jīng)知道θ1、θ2和θ分別在三個(gè)直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)中的余弦的定義分別寫出這三個(gè)角的余弦，再來(lái)證明這公式．師：這個(gè)公式的證明是利用余弦的定義把它們轉(zhuǎn)化成鄰邊與斜邊的比，為此要先作出直角三角形，為了作出直角三角形我們應(yīng)用了三垂線定理．當(dāng)然也可用它的逆定理．這個(gè)公式是在課本第121頁(yè)總復(fù)習(xí)參考題中的第3題．我們?yōu)槭裁匆崆爸v這個(gè)公式呢？講這個(gè)公式的目的是為了用這個(gè)公式，因?yàn)樵诮庠S多有關(guān)題時(shí)都要用到這公

4、式．那我們要問(wèn)在什么條件下可用這個(gè)公式？生：因?yàn)棣?是斜線AB與平面α所成的角，所以只有當(dāng)圖形中出現(xiàn)斜線與平面所成的角時(shí)，才有可能考慮用這公式．師：為了在使用這個(gè)公式時(shí)方便、易記，我們規(guī)定θ1表示斜線與平面所成的角，θ2是平面內(nèi)過(guò)斜足的一條射線與斜線射影所成的角，θ是這條射線與斜線所成的角．下面我們來(lái)研究一下這個(gè)公式的應(yīng)用．應(yīng)用這個(gè)公式可解決兩類問(wèn)題．第一是求值．即已知這公式中的兩個(gè)角，即可求出第三個(gè)角或其余弦值．例如：θ＝60°，這時(shí)θ2＜θ；當(dāng)θ1＝45°，θ2＝135°時(shí)，cosθ＝cos45°·cos

5、135°＝第二是比較θ2與θ的大小．因?yàn)槲覀円呀?jīng)規(guī)定θ1是斜線與平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不變，為了比較θ2與θ的大小，下面分三種情況進(jìn)行討論．（1）θ2＝90°，因?yàn)棣?＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．當(dāng)θ＝90°時(shí)，我們也可以證明θ2＝90°．一條直線如果和斜線的射影垂直，那么它就和斜線垂直．這就是三垂線定理．一條直線如果和斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直．這就是三垂線定理的逆定理．所以，我們可以這樣說(shuō)，這個(gè)公式是三垂線定理及其

6、逆定理的一般情況，而三垂線定理及其逆定理是這公式的特殊情況．現(xiàn)在我們來(lái)研究在θ2是銳角時(shí)，θ2與θ的大?。?）0°＜θ2＜90°．師：在這個(gè)條件下，我們?cè)鯓觼?lái)比較θ2與θ的大?。可阂?yàn)?°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因?yàn)?°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因?yàn)閏osθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在銳角條件下，余弦函數(shù)值大的它所對(duì)應(yīng)的角?。驭?＜θ．師：現(xiàn)在我們來(lái)討論當(dāng)θ2是鈍角時(shí)，θ2與θ的大小．（3）90

7、°＜θ2＜180°．在這個(gè)條件下，我們不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理論上的證明來(lái)比較θ2與θ的大小，而是一起來(lái)看模型（或圖形）．我們假設(shè)θ2的鄰補(bǔ)角為θ′2，θ的鄰補(bǔ)角為θ′，即θ2＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或圖形）中我們可以看出當(dāng)θ2是鈍角時(shí)，θ也是鈍角，所以它們的兩個(gè)鄰補(bǔ)角θ′2和θ′都是銳角，由對(duì)第二種情況的討論我們知道θ′2＜θ′．由等量減不等量減去小的大于減去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．根據(jù)以上討論現(xiàn)在小結(jié)如下：當(dāng)θ2＝

8、90°時(shí)，θ＝θ2＝90°，它們都是直角．當(dāng)0°＜θ2＜90°時(shí)，θ2＜θ，它們都是銳角；當(dāng)90°＜θ2＜180°時(shí)，θ2＞θ，它們都是鈍角．關(guān)于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的應(yīng)用，今后還要隨著課程的進(jìn)展而反復(fù)提到．現(xiàn)在我們來(lái)看例2．例2?如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G為正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．師：我們先來(lái)證