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1、三垂線定理教案科技工程部數(shù)學(xué)組：柯群英一、教材分析：1、本節(jié)課在教材中的地位和作用：“三垂線定理”是立體幾何中的重要定理，它是在研究了空間直線和平面垂直關(guān)系的基礎(chǔ)上研究空間兩條直線垂直關(guān)系的一個(gè)重要定理。它既是線面垂直關(guān)系的一個(gè)應(yīng)用，又為以后學(xué)習(xí)面面垂直，研究空間距離、空間角、多面體與旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)本節(jié)課對培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力有重要意義。本節(jié)課的主要內(nèi)容是三垂線定理的引出、證明和初步應(yīng)用。教學(xué)時(shí)對教材的知識點(diǎn)安排進(jìn)行了調(diào)整，把正射影部分的內(nèi)容提前講解，逆定理部分的內(nèi)容安排到下一
2、課時(shí)，這樣以便于突出重點(diǎn)。本節(jié)課對定理的引出改變了教材中直接給出定理的做法，通過一道練習(xí)題的結(jié)論引出三垂線定理的內(nèi)容這樣，學(xué)生感到自然，容易接受，例題有所增加，處理方式也有適當(dāng)改變。2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：三垂線定理的理解和應(yīng)用。難點(diǎn)：變換位置下的三垂線定理的應(yīng)用。三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，它在立體幾何中占有重要地位，為后續(xù)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，因此確定三垂線定理是本節(jié)課的重點(diǎn)。學(xué)生往往習(xí)慣于在水平平面內(nèi)運(yùn)用三垂線定理，對變換位置下應(yīng)用定理有一定困難，缺乏學(xué)習(xí)的靈活性，因此變換
3、位置下的三垂線定理的應(yīng)用是本節(jié)課的難點(diǎn)。二、學(xué)生分析：立體幾何本身是一門比較抽象的學(xué)科，要求解題過程要嚴(yán)謹(jǐn)，而我們的學(xué)生基礎(chǔ)較薄弱，缺乏空間想象能力，不習(xí)慣做證明題，因此學(xué)習(xí)起來有一定困難。學(xué)生的學(xué)是教學(xué)的主要方面，學(xué)是中心，學(xué)會是目的，因此在教學(xué)中要不斷指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。三、教學(xué)目標(biāo)：根據(jù)教學(xué)大綱的要求、本節(jié)課的特點(diǎn)和學(xué)生對空間圖形的認(rèn)知特點(diǎn)，本節(jié)課的教學(xué)目的確定如下：知識目標(biāo)：理解并掌握三垂線定理及其證明，準(zhǔn)確把握幾個(gè)垂直關(guān)系的實(shí)質(zhì)，初步學(xué)會應(yīng)用三垂線定理解決相關(guān)問題。能力目標(biāo)：通過對三垂線定理的探索
4、過程，進(jìn)一步滲透立體幾何證明中的轉(zhuǎn)化思想，具體體現(xiàn)在線線垂直與線面垂直的辨證關(guān)系上：線線判定線面性質(zhì)線線情感目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯推理教學(xué)，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，體會數(shù)學(xué)的美。4四、設(shè)計(jì)理念：本節(jié)課的主要內(nèi)容是三垂線定理的引出、證明和初步應(yīng)用。教學(xué)時(shí)對教材的知識點(diǎn)安排進(jìn)行了調(diào)整，把正射影部分的內(nèi)容提前講解，逆定理部分的內(nèi)容安排到下一課時(shí)，這樣以便于突出重點(diǎn)。本節(jié)課對定理的引出改變了教材中直接給出定理的做法，通過一道練習(xí)題的結(jié)論引出三垂線定理的內(nèi)容這樣，學(xué)生感到自然，容易接受，例題有所增加，處理方式也有
5、適當(dāng)改變。五、教具學(xué)具準(zhǔn)備：本節(jié)課內(nèi)容較多，又涉及到很多的空間圖形，所以采用多媒體課件來教學(xué)有助于降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，提高課堂學(xué)習(xí)效率，還準(zhǔn)備一把三角尺，建立三垂線定理中幾條直線的模型，幫助理解三垂線定理的實(shí)質(zhì)。六、教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)提問：1、線線判定線面性質(zhì)線線2、何為平面的斜線、何為斜線在平面上的射影？（二）新課講授：練習(xí)：已知PA、PO分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面上的射影.a,aAO。AaaOP求證aPO三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它就與這
6、條斜線垂直。（垂影則垂斜）分析定理中的3個(gè)垂直關(guān)系：1、PA⊥a（線面垂直）2、a⊥AO（線影垂直）3、a⊥PO（線斜垂直）分析定理中的4條直線：PA—垂線PO—斜線AO—射影a—平面內(nèi)的直線4定理應(yīng)用：PABCDO例1、已知P是平面ABC外一點(diǎn)，PA平面ABC，ACBC,求證：PCBCPABC(例1)(練習(xí)1)（選擇這道例題的主要目的是直接應(yīng)用定理）練習(xí)1：已知：PA正方體ABCD所在平面，O為對角線BD的中點(diǎn)。求證：POBD,PCBDPAPCABPCPMM練習(xí)2：已知:PA⊥平面PBC，M是BC的中點(diǎn)
7、，且PB=PC求證：BC⊥AM（練習(xí)題設(shè)計(jì)意圖：深化對定理的理解）ABCDACDB例2、在正方體AC中，求證：ACBD，ACBC（例題設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生在變換位置的形式下應(yīng)用三垂線定理的能力）小結(jié)運(yùn)用三垂線定理證明的一般步驟：一定（定平面）二找（找平面的垂線、斜線及其射影）三證（證平面內(nèi)一直線與斜線垂直）（解題回顧設(shè)計(jì)意圖幫助學(xué)生理順解題思路）練習(xí)3：PABCD填空：如圖，ABCD是矩形，PA平面AC,連接PB、PC、PD。（1）與PA垂直的直線有；（2）與PB垂直的直線有（3）直角三角形有4（練習(xí)題設(shè)計(jì)
8、意圖：培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用定理判定線線垂直的綜合推理能力，鞏固所學(xué)知識）（三）課時(shí)小結(jié)：本節(jié)主要學(xué)習(xí)了三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它就與這條斜線垂直。即垂影則垂斜。（設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)）（四）作業(yè)布置：P1091、P1205、（鞏固基礎(chǔ)知識，反饋教學(xué)信息）(五)板書設(shè)計(jì)：課題：三垂線定理例1：多媒體練習(xí)1（1）：1（2）（學(xué)生板演）（學(xué)生板演）例2中的第二個(gè)證（學(xué)生板演）七、教學(xué)反思：教學(xué)
