高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 三垂線定理（一）教案

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1、湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教案：三垂線定理（一）　一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1．三垂線定理及其逆定理的形成和論證．2．三垂線定理及其逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用．（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)1．猜想和論證能力的訓(xùn)練．2．由線面垂直證明線線垂直的方法（線面垂直法）；3．訓(xùn)練學(xué)生分清三垂線定理及其逆定理中各條直線之間的關(guān)系；4．善于在復(fù)雜圖形中分離出適用的直線用于解題．（三）德育滲透點(diǎn)通過定理的論證和練習(xí)的訓(xùn)練滲透化繁為簡(jiǎn)的思想和轉(zhuǎn)化的思想．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法1．教學(xué)重點(diǎn)（1）掌握三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那

2、么它也和這條斜線垂直．（2）掌握三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直．2．教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)定理的證明及應(yīng)用．3．教學(xué)疑點(diǎn)及解決方法（1）三垂線定理及其逆定理，揭示了平面內(nèi)的直線與平面的垂線、斜線及斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線的垂直關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線（或斜線在平面內(nèi)的射影）垂直的判定定理．（2）本節(jié)課的兩個(gè)定理，涉及的直線較多，學(xué)生在認(rèn)識(shí)和理解上都會(huì)存在困難，為了加深印象并說明復(fù)雜的直線位置關(guān)系，可以采用一些教具，或者讓學(xué)生準(zhǔn)備三根竹簽，按照教師的要求擺放．在學(xué)生感性

3、認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行理性的證明和記憶，有助于定理的掌握．（3）三垂線定理是先有直線a垂直于射影AO的條件，然后得到a垂直于斜線PO的結(jié)論；而其逆定理則是已知直線a垂直于斜線PO，再推出a垂直于射影AO．在引用時(shí)容易引起混淆，解決的辦法是，構(gòu)造一個(gè)同時(shí)使用這兩個(gè)定理的問題，引導(dǎo)學(xué)生分清．（4）教學(xué)核心是定理的形成教學(xué)，教學(xué)的指導(dǎo)思想是：遵循由具體探究抽象、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)識(shí)規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生反復(fù)思考，不斷內(nèi)化成為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．三、課時(shí)安排本課題共安排2課時(shí)，本節(jié)課為第一課時(shí)．四、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)三垂線定理及其逆定理的條件和結(jié)論都比較簡(jiǎn)單，但應(yīng)用卻很廣泛，為了培養(yǎng)

4、學(xué)生的能力，應(yīng)讓學(xué)生探索定理的命題形式，充分利用好手中的三根竹簽．設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)符合建構(gòu)主義的教學(xué)思想，也符合教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)思想；教師根據(jù)教學(xué)要求，提出問題，創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，主動(dòng)發(fā)展，從而調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．五、教學(xué)步驟（一）溫故知新，引入課題師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和平面的垂直關(guān)系，學(xué)新課之前，讓我們作個(gè)簡(jiǎn)單的回顧：1．直線和平面垂直的定義？2．直線和平面垂直的判定定理．3．什么叫做平面的斜線、斜線在平面上的射影？4．已知平面α和斜線l，如何作出l在平面α上的射影？（板書）l∩α＝A，作出l在平面α上的射影（二）

5、猜想推測(cè)，激發(fā)興趣師：根據(jù)直線與平面垂直的定義我們知道，平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂直，那么，平面內(nèi)的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？（教師演示教具，用一個(gè)三角板的一條直角邊當(dāng)平面的斜線，一根包有色紙的竹竿擺放在桌面的不同位置當(dāng)作平面內(nèi)的不同直線，學(xué)生容易看出它們不一定互相垂直．）師：是否平面內(nèi)的任意一條直線都不和這條平面的斜線垂直呢？（教師將三角板的另一條直角邊平放在桌面上，并提示學(xué)生注意這條直角邊與平面的關(guān)系——在平面上，與斜線的關(guān)系——垂直．）師：在平面上有幾條直線和這條斜線垂直？（學(xué)生可能會(huì)回答一條，也可能回答無(wú)數(shù)條，教師應(yīng)

6、調(diào)整桌面上的竹竿位置，使其平行于三角板的直角邊，然后平行移動(dòng)，并向?qū)W生說明，這些直線都與斜線垂直．）師：平面內(nèi)一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂直？（學(xué)生的直覺判斷是要與那條和桌面接觸的直角邊平行，這是正確的，但無(wú)多大用途；這時(shí)教師提醒學(xué)生注意斜線在平面內(nèi)的射影，并調(diào)整教具，將三角板的斜邊當(dāng)作平面的斜線，構(gòu)成垂線、斜線和射影的立體模型；要求學(xué)生與同桌配合，擺放課前準(zhǔn)備的竹簽成教師示范的模型；然后在教師的引導(dǎo)之下觀察、猜想，與同桌的探討中發(fā)現(xiàn)了只要與斜線的射影垂直就和斜線垂直．）（三）層層推進(jìn)，證明定理師：猜測(cè)和實(shí)驗(yàn)的結(jié)論不一定正確，那么你想怎

7、樣證明這個(gè)猜想呢？（若用幻燈或投影儀，可以節(jié)省板書時(shí)間．）已知：PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α求證：a⊥PO．師：這是證明兩條直線互相垂直的問題，你準(zhǔn)備怎么證明？分析：從直線和平面垂直的定義可知，要證兩條直線互相垂直，只要證明其中一條直線垂直于另一條直線所在的平面即可．師：這個(gè)平面你找到了嗎？生：是平面PAO．師：怎樣證明a⊥平面PAO呢？生：只要證明a垂直于平面PAO內(nèi)的兩條相交直線．證明：說明：1．定理的證明，體現(xiàn)了“由線面垂直證明線線垂直”的方法；2．上述命題反映了平面內(nèi)的直線、平面的斜線和斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線之間

8、的垂直關(guān)系，這就是著名的三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那