高中數(shù)學(xué) 2.2 等差數(shù)列（第2課時(shí)）學(xué)案 新人教a版必修5 (2)

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1、2.2　等差數(shù)列(第2課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)在理解等差數(shù)列定義、如何判定等差數(shù)列及學(xué)習(xí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上,掌握等差中項(xiàng)的定義及應(yīng)用,明確等差數(shù)列的性質(zhì),并運(yùn)用其進(jìn)行一些等差數(shù)列的相關(guān)計(jì)算.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計(jì)問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境在上一節(jié)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列,掌握了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與公差,作為一類特殊的數(shù)列,是否具有某些特殊的性質(zhì)?又如何去證明或判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列呢?二、信息交流,揭示規(guī)律1.對(duì)于三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,我們定義等差中項(xiàng)在如下的兩個(gè)數(shù)之間,插入一個(gè)什么數(shù)后這三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列.

2、(1)2,(　　),4;(2)-12,(　　),0;(3)a,(　　),b.2.等差中項(xiàng)定義由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng).符號(hào)表示:2A=a+b?A=　　　　.?【思考】(1)在等差數(shù)列{an}中,是否有2an+1=an+an+2成立?等差數(shù)列又可以怎么敘述?從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).(2)等差中項(xiàng)可應(yīng)用于判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列.3.等差數(shù)列的性質(zhì)問(wèn)題1:列舉幾個(gè)數(shù)列,觀察數(shù)列的特點(diǎn),研究公差與數(shù)列單調(diào)性的關(guān)系.

3、性質(zhì)1:若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為d.若d>0,則{an}是遞增數(shù)列;若d<0,則{an}是遞減數(shù)列;若d=0,則{an}是常數(shù)列.問(wèn)題2:探究等差數(shù)列{an}中任意兩項(xiàng)an,am之間的關(guān)系.它們之間的關(guān)系可表示為　.?由此也可得到等差數(shù)列通項(xiàng)公式的另一種表示:an=am+(n-m)d公差的另一種表示:d=,性質(zhì)2:an=am+(n-m)d,d=.問(wèn)題3:在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq一定成立嗎?特別地,m+n=2k,則am+an=2ak成立嗎?性質(zhì)3:在

4、等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.三、運(yùn)用規(guī)律,解決問(wèn)題4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q,其中p,q為常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?證明你的結(jié)論.5.已知等差數(shù)列{an}中,a1+a4+a7=15,a2·a4·a6=45,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.四、變式訓(xùn)練,深化提高6.三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,其和為15,其平方和為83,求此三個(gè)數(shù).7.已知a,b,c成等差數(shù)列,求證:b+c,c+a,a+b也成等差數(shù)列.五、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉參考答案二、信息交流,揭

5、示規(guī)律1.(1)3　(2)-6　(3)2.問(wèn)題1:略問(wèn)題2:an=am+(n-m)d分析:證明等式,可以考慮從等號(hào)的兩側(cè)證明,能夠利用的是前面掌握的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d,得am=a1+(m-1)d.an-am=[a1+(n-1)d]-[a1+(m-1)d]=(n-m)d,∴an=am+(n-m)d.即等式成立.問(wèn)題3:am+an=ap+aq一定成立;當(dāng)m+n=2k時(shí),am+an=2ak成立.三、運(yùn)用規(guī)律,解決問(wèn)題4.證明:取數(shù)列{an}中的任意相鄰

6、兩項(xiàng)an與an-1(n>1),求差得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p,它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù),所以{an}是等差數(shù)列.5.解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,由此得到a4=5.又∵a2·a4·a6=45,∴a2a6=9,即(a4-2d)(a4+2d)=9,∴(5-2d)(5+2d)=9.得d=±2.當(dāng)d=2時(shí),an=a4+(n-4)d=2n-3;當(dāng)d=-2時(shí),an=a4+(n-4)d=13-2n.四、變式訓(xùn)練,深化提高6.

7、解:設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為x-d,x,x+d.則解得∴相應(yīng)地,所求三個(gè)數(shù)為3,5,7或7,5,3.7.證明:∵a,b,c成等差數(shù)列,∴2b=a+c.∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c),∴b+c,c+a,a+b成等差數(shù)列.說(shuō)明:如果a,b,c成等差數(shù)列,?；?b=a+c的形式去運(yùn)用;反之,如果求證a,b,c成等差數(shù)列,常改證2b=a+c成立.五、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉略