高中數(shù)學(xué) 4.4 參數(shù)方程 4.4.4 平擺線與圓的漸開線課后訓(xùn)練 蘇教版選修4-4

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1、4.4.4平擺線與圓的漸開線練習(xí)1．漸開線(φ為參數(shù))的基圓的圓心在原點(diǎn)，把基圓的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．2．已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，那么圓的平擺線方程中與參數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為__________．3．已知圓的方程為x2＋y2＝4，點(diǎn)P為其漸開線上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．4．已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則此漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是________，當(dāng)參數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為________．5

2、．參數(shù)方程(φ為參數(shù))表示的曲線是__________．6．平擺線(0≤t≤2π)與直線y＝2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是__________．7．如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中AE，EF，F(xiàn)G，GH…的圓心依次按B，C，D，A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH的長(zhǎng)是__________．8．我們知道關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的平擺線(φ為參數(shù))關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的曲線的參數(shù)方程為__________．9．已知平擺線的生成圓的直徑為80mm，寫出平擺線的

3、參數(shù)方程，并求其一拱的拱寬和拱高．10．已知圓的漸開線(φ為參數(shù)，0≤φ＜2π)上有一點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，求漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的面積．參考答案1.答案：(，0)和(，0)解析：根據(jù)圓的漸開線方程可知基圓的半徑r＝6，其方程為x2＋y2＝36，把基圓的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的曲線的方程為，整理可得，這是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)和(，0)．2.答案：解析：根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的平擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，把代入?yún)?shù)方程中可得)即.∴.3.答案：(π，

4、2)解析：由題意，圓的半徑r＝2，其漸開線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．當(dāng)時(shí)，x＝π，y＝2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(π，2)．4.答案：2　解析：圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2.求當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，只需把代入曲線的參數(shù)方程，得，，由此可得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.5.答案：半徑為3的圓的漸開線解析：由參數(shù)方程的形式可直接得出答案．6.答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)解析：由y＝2得2＝2(1－cost)，∴cost＝0.∵0≤t≤2π，∴或.∴x1＝＝π－2，∴交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

5、(π－2,2)或(3π＋2,2)．7.答案：5π解析：根據(jù)漸開線的定義可知，是半徑為1的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為π；是半徑為3的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為；是半徑為4的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為2π.所以曲線AEFGH的長(zhǎng)是5π.8.答案：(φ為參數(shù))解析：關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換，所以要寫出平擺線方程關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱曲線方程，只需把其中的x與y互換．9.解：∵平擺線的生成圓的半徑r＝40mm，∴此平擺線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，它一拱的拱寬為2πr＝2

6、π×40＝80π(mm)，拱高為2r＝2×40＝80(mm)．10.解：把已知點(diǎn)(3,0)代入?yún)?shù)方程得解得所以基圓的面積S＝πr2＝π×32＝9π.