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《高中數(shù)學(xué)4.4參數(shù)方程4.4.4參數(shù)方程中曲線欣賞——平擺線、圓的漸開(kāi)線知識(shí)導(dǎo)航學(xué)案.》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、4.4.4參數(shù)方程中曲線欣賞一一平擺線、圓的漸開(kāi)線自主整理1?平擺線的參數(shù)方程為（B是參數(shù)）.答案:[Un?[y=r(l一cos8)2.平擺線是由無(wú)數(shù)個(gè)呈排列的拱組成，每個(gè)拱的高為,拱的底為,即在x軸上每隔拱將重復(fù)一次.答案：周期性2r2nr2“3.圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程為（0是參數(shù)，其中r為基圓的半徑）.答案：＜x=廠(cos&+&sin&)[y=廠(sin&-&cos&)高手筆記1.平擺線的形成原理設(shè)想白行車(chē)外胎上粘了一塊口香糖，車(chē)輪在平地上向前沿直線滾動(dòng)時(shí)，口香糖就在空中描繪出一條曲線，這條曲線就是平擺線，也稱旋輪線（如圖
2、所示）.原理：當(dāng)一動(dòng)圓沿一條線作純滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上任意點(diǎn)的軌跡稱為擺線.引導(dǎo)動(dòng)圓滾動(dòng)的線稱為導(dǎo)線.當(dāng)動(dòng)圓沿直導(dǎo)線滾動(dòng)時(shí)形成平擺線；當(dāng)導(dǎo)線為圓，動(dòng)圓在導(dǎo)圓上作外切滾動(dòng)時(shí)形成外擺線，作內(nèi)切滾動(dòng)吋形成內(nèi)擺線.2.圓的漸開(kāi)線的形成原理把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)固定不動(dòng)的圓盤(pán)上，鉛筆系在繩的外端，把繩拉直，然后繞圓盤(pán)逐漸展開(kāi)，保持細(xì)繩始終與圓相切，筆所畫(huà)岀的曲線，即細(xì)繩端點(diǎn)的軌跡，叫做圓的漸開(kāi)線，圓盤(pán)就叫漸開(kāi)線的基圓（如圖所示）.名師解惑1?我們知道圓、橢圓、直線的參數(shù)方程中，參數(shù)都具有相應(yīng)的幾何意義，根據(jù)其幾何意義可以給我們研究問(wèn)題帶來(lái)
3、很多方便.那么，圓的漸開(kāi)線和擺線的參數(shù)方程中的參數(shù)（）是否也具有一定的兒何意義呢？剖析：根據(jù)漸開(kāi)線的定義和求解參數(shù)方程的過(guò)程，可知其小的字母r是指基圓的半徑，而參數(shù)0是指繩子外端運(yùn)動(dòng)吋繩子上的定點(diǎn)P相對(duì)于圓心的張角?如下圖，其中的ZA0B即是角顯然點(diǎn)P由參數(shù)B唯一確定.在我們解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，使求解過(guò)程更加簡(jiǎn)單.同樣，根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過(guò)程，可知其屮的字母r是指定圓的半徑,參數(shù)0是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于某一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所張開(kāi)的角度大小.參數(shù)的幾何意義可以在解決問(wèn)題中
4、加以引用，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.當(dāng)然這個(gè)幾何意義還不是很明顯，直接使用還要注意其収值的具體情況.2.我們知道，圓錐曲線可以用普通方程表示，也可以用參數(shù)方程表示，還可以用極坐標(biāo)方程表示，那么對(duì)于漸開(kāi)線的參數(shù)方程是否也可以化為普通方程表示？剖析：用參數(shù)方程描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律吋，常常比用普通方程更為直接、簡(jiǎn)便.有些重要但較復(fù)雜的曲線（例如圓的漸開(kāi)線），建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，列出的方程既復(fù)雜又不易理解，從普通方程看不出曲線的坐標(biāo)所滿足條件的含義.如圓的漸開(kāi)線普通方程,[x=廠（cos&+&sin0Y可以根據(jù)其參數(shù)方程4門(mén)門(mén)/（0為參
5、數(shù)），消去參數(shù)（）可得到普通方程，[y二心n&-&cos&）但根據(jù)方程畫(huà)出曲線十分費(fèi)時(shí)；而利用參數(shù)方程把兩個(gè)變量x、y間接地聯(lián)系起來(lái)，常常比較容易，方程簡(jiǎn)單明確，且畫(huà)圖也不太困難.而對(duì)于參數(shù)方程，我們可以根據(jù)參數(shù)的取值求出坐標(biāo)的關(guān)系，相比Z下比普通方程更為直觀.所以，在研究圓的漸開(kāi)線和圓的擺線時(shí)主要使用參數(shù)方程，而不去討論其普通方程.3.根據(jù)建立曲線的參數(shù)方程的過(guò)程，總結(jié)應(yīng)用向量方法建立運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程的基本思路和步驟.剖析：（1）建立合適的坐標(biāo)系；（2）取定某個(gè)角度（以弧度為單位）為參數(shù)；（3）用三角知識(shí)寫(xiě)出相關(guān)向量的坐標(biāo)表
6、達(dá)式；（4）用向暈運(yùn)算得到OM的坐標(biāo)表達(dá)式，得到曲線的參數(shù)方程.講練互動(dòng)x=3cos&+3&sin&,【例題1】給出圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程q.°八J（0為參數(shù)）.根據(jù)參數(shù)方程y-3sin&+30cos&7T可以看出該漸開(kāi)線的基圓半徑是,當(dāng)參數(shù)9取絲時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)2是.解析：本題考查對(duì)漸開(kāi)線參數(shù)方程的理解.根據(jù)一般情況下基圓半徑為r的漸開(kāi)線的參數(shù)方=廠（cos&+&sin0）,7t程'（（）為參數(shù)）進(jìn)行對(duì)照可求r的值，然后把（）=絲分別代入x[y=r（sin&-&cos&）2和y,即得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).fx=3（cos0+
7、&sin&）,所給的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程可化為彳八門(mén)「所以基圓半徑r=3.然后把（）[y=3（sin&-&cos&）,擰分別代入X和y,可得兀JC兀x=3(cos—+—sin—),222y=3(sin—-—cos—),2223兀bpx=T,丿=3.77S7T所以當(dāng)參數(shù)0取仝時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是（蘭，3）?223龍答案：3（―,3）2綠色通道解答此類(lèi)題目，一定要記住圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程的形式，并且要知道每個(gè)字母的意義.變式訓(xùn)練1.寫(xiě)11!半徑為2的基圓的漸開(kāi)線方程.思路分析：直接利用圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程公式.解:方程為X=
8、2(cos&+&sin&),y=2(sin&-&cos&)e是參數(shù)）.TTTT2.已知圓的直徑為2,其漸開(kāi)線上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是一和一，求A、B兩點(diǎn)的距32離.x=cos&+Osin&,思路分析：首先根據(jù)圓的直徑可知半徑為1，寫(xiě)出漸開(kāi)線的參數(shù)方程，再根據(jù)
