《4.4.4 平擺線與圓的漸開線》導(dǎo)學(xué)案

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1、《4.4.4平擺線與圓的漸開線》導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解圓的漸開線的參數(shù)方程,了解擺線的生成過程及它的參數(shù)方程.2.學(xué)習(xí)用向量知識推導(dǎo)運(yùn)動軌跡曲線的方法和步驟學(xué)習(xí)重點(diǎn):圓的漸開線的參數(shù)方程,擺線的參數(shù)方程學(xué)習(xí)難點(diǎn):用向量知識推導(dǎo)運(yùn)動軌跡曲線的方法學(xué)習(xí)過程:知識回顧1復(fù)習(xí):圓的參數(shù)方程探究:把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個圓盤上,在繩的外端系上一支鉛筆,將繩子拉緊,保持繩子與圓相切而逐漸展開,那么鉛筆會畫出一條曲線?這條曲線的形狀怎樣?能否求出它的軌跡方程?動點(diǎn)(筆尖)滿足什么幾何條件?我們可以把一條沒有彈性的繩子繞在一個圓盤上,在繩的外端系上一枝

2、鉛筆,將繩子拉緊,保持繩子與圓相切,逐漸展開,那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線,相應(yīng)的定圓叫做基圓(如右圖).也可以使用計算機(jī)在軟件中進(jìn)行模擬漸開線的圖象.通過模擬中的動態(tài)過程理解漸開線的形狀和形成原理,加深對漸開線概念和含義的理解.其實(shí)質(zhì)就是直線在圓上滾動時直線上定點(diǎn)的軌跡.二?擺線的概念和產(chǎn)生過程圓的擺線就是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個定點(diǎn)的軌跡.我們可以在自行車輪子上噴一個白色的印記,觀察自行車在筆直的道路上運(yùn)動時形成的軌跡來理解圓的擺線,也可以借助教具或計算機(jī)軟件,觀察圓在直線上滾動時圓上定點(diǎn)的軌跡.圓的擺線又

3、叫旋輪線.三?圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程對于圓的漸開線,我們以基圓圓心O為原點(diǎn),一條直徑所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)動點(diǎn)滿足的條件和向量的有關(guān)性質(zhì)可以得到圓的漸開線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).同樣道理,根據(jù)擺線上任意一點(diǎn)的運(yùn)動軌跡,取定直線為x軸,動點(diǎn)的其中一個位置為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)幾何知識可得圓的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).四?圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程中的參數(shù)φ的幾何意義根據(jù)漸開線的定義和求解參數(shù)方程的過程,可知其中的字母r是指基圓的半徑,而參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動時繩子上的定點(diǎn)M相對于圓心的張角.如圖(1),其

4、中的∠AOB即是角φ.顯然點(diǎn)M由參數(shù)φ唯一確定.在我們解決有關(guān)問題時可以適當(dāng)利用其幾何意義,把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題,使求解過程更加簡單.同樣,根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程可知其中的字母r是指定圓的半徑,它決定了擺線的某方面的大小情況.參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對于某一定點(diǎn)運(yùn)動所張開的角度大小.如圖(2),根據(jù)參數(shù)的幾何意義也可以在解決問題中加以引用,簡化運(yùn)算過程.當(dāng)然這個幾何意義還不是很明顯,直接使用還要注意其取值的具體情況.(1)(2)五?用參數(shù)方程描述運(yùn)動規(guī)律的特點(diǎn)有些重要但較復(fù)雜的曲線(例如圓的漸開線),建

5、立它們的普通方程比較困難,甚至不可能,列出的方程既復(fù)雜又不易理解,從普通方程看不出曲線的坐標(biāo)所滿足條件的含義.如圓的漸開線的普通方程,可以根據(jù)其參數(shù)方程(φ為參數(shù))消去參數(shù)φ得到根據(jù)方程畫出曲線十分費(fèi)時,而利用參數(shù)方程把兩個變量x?y間接地聯(lián)系起來,常常比較容易,方程簡單明確,且畫圖也不太困難.對于參數(shù)方程,我們可以根據(jù)參數(shù)的取值求出坐標(biāo)的關(guān)系,相比之下比普通方程更為直觀.所以,在研究圓的漸開線和圓的擺線時主要使用參數(shù)方程,而不去討論其普通方程.1.圓的擺線的參數(shù)方程是(φ是參數(shù)).2.圓的漸開線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)).3.圓的擺線就是一

6、個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個定點(diǎn)的軌跡.4.我們可以把一條沒有彈性的繩子繞在一個圓盤上,在繩的外端系上一支鉛筆,將繩子拉緊,保持繩子與圓相切,逐漸展開,那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線,相應(yīng)的定圓叫做基圓(如圖).重難突破例1.給出某漸開線的參數(shù)方程(φ為參數(shù)),根據(jù)參數(shù)方程可以看出該漸開線的基圓半徑是_________,且當(dāng)參數(shù)φ取時,對應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______.例2求半徑為4的圓的漸開線參數(shù)方程變式訓(xùn)練1當(dāng),時,求圓漸開線上對應(yīng)點(diǎn)A?B坐標(biāo)并求出A?B間的距離?練2求圓的漸開線上當(dāng)對應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)?例3求半徑為

7、2的圓的擺線的參數(shù)方程變式訓(xùn)練3求擺線與直線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)當(dāng)堂檢測1.關(guān)于漸開線和擺線的敘述,正確的是()A.只有圓才有漸開線B.漸開線和擺線的定義是一樣的,只是繪圖的方法不一樣,所以才得到了不同的圖形C.正方形也可以有漸開線D.對于同一個圓,如果建立的直角坐標(biāo)系的位置不同,畫出的漸開線形狀就不同2.給出下列說法:①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程;②圓的漸開線也可以轉(zhuǎn)化為普通方程,但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩,且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系,所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題;③在求圓的擺線和漸開線方程時,如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸

8、選取不同,可能會得到不同的參數(shù)方程;④圓的漸開線和x軸一定有交點(diǎn)而且是唯一的交點(diǎn).其中正確的說法有()A.①③B.②④C.②③D.①③④3.已知圓的漸開線的參數(shù)方程