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《江蘇專用版高中數(shù)學(xué)4.4.4平擺線與圓的漸開(kāi)線學(xué)案蘇教版》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、4.4.4 平擺線與圓的漸開(kāi)線1．了解平擺線、圓的漸開(kāi)線的生成過(guò)程，能導(dǎo)出它們的參數(shù)方程．2．在欣賞曲線美的同時(shí)，體會(huì)參數(shù)方程在曲線研究中的地位．3．體會(huì)“參數(shù)”思想在處理較為復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性．[基礎(chǔ)·初探]1．平擺線(1)如圖447所示，假設(shè)A為圓心，圓周上的定點(diǎn)為P，開(kāi)始時(shí)位于O處，圓(半徑為r)在直線上滾動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P繞圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)θ(弧度)角后，圓與直線相切于B，線段OB的長(zhǎng)等于的長(zhǎng)，即OB＝rθ.這就是圓周上的定點(diǎn)P在圓A沿直線滾動(dòng)過(guò)程中滿足的幾何條件．我們把點(diǎn)P的軌跡叫做平擺線，簡(jiǎn)稱擺線，又叫旋輪線．圖447(2)以定直線為x軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立
2、直角坐標(biāo)系，則定點(diǎn)P(x，y)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．2．圓的漸開(kāi)線有一條鋼絲緊箍在一個(gè)半徑為r的圓盤(pán)上，在鋼絲的外端系上一支鉛筆，逐漸撒開(kāi)鋼絲，并使撒開(kāi)的部分成為圓盤(pán)的切線，我們把筆尖畫(huà)出的曲線叫做圓的漸開(kāi)線，相應(yīng)的定圓叫做漸開(kāi)線的基圓．[思考·探究]1．用參數(shù)法求曲線的軌跡方程的步驟是什么？【提示】 用參數(shù)法求曲線的軌跡方程，其步驟主要有三步：選參、用參、消參．其中關(guān)鍵是選參，若題目沒(méi)有明確要求化為普通方程(或需判斷曲線的形狀和位置)，則可以用曲線的參數(shù)方程作為答案．2．圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是什么？【提示】 根據(jù)漸開(kāi)線的定義和求解參數(shù)方程
3、的過(guò)程，可知其中的字母r是指基圓的半徑，而參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)，半徑OB相對(duì)于Ox轉(zhuǎn)過(guò)的角度，如圖，其中的∠AOB即是角φ.顯然點(diǎn)P由參數(shù)φ惟一確定．在我們解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，使求解過(guò)程更加簡(jiǎn)單．[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問(wèn)2：____
4、_________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問(wèn)3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________擺線 已知一個(gè)圓的擺線過(guò)一定點(diǎn)(1,0)，請(qǐng)寫(xiě)出該擺線的參數(shù)方程．【自主解答】 根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程的表達(dá)式(φ為參數(shù))可知，只需
5、求出其中的r，也就是說(shuō)，擺線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一來(lái)確定，因此只需把點(diǎn)(1,0)代入?yún)?shù)方程求出r值再代入?yún)?shù)方程的表達(dá)式．令r(1－cosφ)＝0可得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)代入可得x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1.所以r＝.又根據(jù)實(shí)際情況可知r是圓的半徑，故r>0.所以，應(yīng)有k>0且k∈Z，即k∈N＋.所以，所求擺線的參數(shù)方程是(其中φ為參數(shù)，k∈N＋)．[再練一題]1．已知一個(gè)圓的平擺線過(guò)一定點(diǎn)(2,0)，請(qǐng)寫(xiě)出該圓的半徑最大時(shí)該平擺線的參數(shù)方程．【解】 令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r＞0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(
6、k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因?yàn)閤＝2，所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝(k∈N＋)．易知，當(dāng)k＝1時(shí)，r取最大值為.代入即可得圓的平擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).圓的漸開(kāi)線 已知圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程(φ為參數(shù))求出該漸開(kāi)線的基圓的方程，當(dāng)參數(shù)φ取時(shí)，求對(duì)應(yīng)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)．【思路探究】 由圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程形式可得r＝3，把φ＝代入即得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)．【自主解答】 ∵，∴半徑為3.此漸開(kāi)線的基圓方程為x2＋y2＝9.把φ＝代入?yún)?shù)方程得即∴曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)為(，3)．圓的漸開(kāi)線參數(shù)方程其中φ為參數(shù)．[再練一題
7、]2．已知圓的直徑為2，其漸開(kāi)線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是和，求A、B兩點(diǎn)的距離．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990038】【解】 根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，分別把φ＝和φ＝代入，可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(，)，B(，1)．那么，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得A、B兩點(diǎn)的距離為AB＝＝.即A、B兩點(diǎn)之間的距離為.1．若某圓的漸開(kāi)線方程是(φ為參數(shù))，則此圓的方程是_______，對(duì)應(yīng)φ＝0的點(diǎn)的坐標(biāo)是________，對(duì)應(yīng)φ＝的點(diǎn)是________．【解析】 圓的方程為x2＋y2＝1，φ＝0的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0
8、)，對(duì)應(yīng)φ＝的點(diǎn)的坐標(biāo)是
