寧夏-平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(馬海軍

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1、《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》教案授課教師：寧夏銀川唐徠回民中學(xué)馬海軍課題：§2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教材：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（人教A版）數(shù)學(xué)必修4一、教學(xué)目標(biāo)1、了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2、體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算；3、體會(huì)類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。二、教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積的含義與物理意義2、性質(zhì)與運(yùn)算律及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：1、平

2、面向量數(shù)量積的概念2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（2）、（3）的證明三、教學(xué)過(guò)程活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引出新課1、提出問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？期望學(xué)生回答：向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算。2、提出問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？期望學(xué)生回答：物理模型→概念→性質(zhì)→運(yùn)算律→應(yīng)用3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來(lái)研究向量的另外一種運(yùn)算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義活動(dòng)二：探究數(shù)量積的概念SFα1、給出有關(guān)材料并提

3、出問(wèn)題3：（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功：W=

4、F

5、

6、S

7、cosα。（2）這個(gè)公式的有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：6①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。（3）你能用文字語(yǔ)言表述“功的計(jì)算公式”嗎?期望學(xué)生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積2、明晰數(shù)量積的定義（1）數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量︱︱·︱b︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即：·=︱︱·︱︱cos（2）定義說(shuō)明：①記法“·”中間的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。②“規(guī)

8、定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。3、提出問(wèn)題4：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？期望學(xué)生回答：線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個(gè)數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。4、學(xué)生討論，并完成下表：的范圍0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符號(hào)5、研究數(shù)量積的幾何意義（1）給出向量投影的概念：如圖，我們把││cos（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：OB1=︱││︱cos（2）提出問(wèn)題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？期望學(xué)生回答：數(shù)量積·等于的長(zhǎng)度

9、︱︱與在的方向上的投影︱︱cos的乘積。66、研究數(shù)量積的物理意義（1）請(qǐng)同學(xué)們用一句話來(lái)概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積。（2）嘗試練習(xí)：一物體質(zhì)量是10千克，分別做以下運(yùn)動(dòng)：①、豎直下降10米；②、豎直向上提升10米；③、在水平面上位移為10米；④、沿傾角為30度的斜面向上運(yùn)動(dòng)10米；分別求重力做功的大小。?活動(dòng)三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)1、提出問(wèn)題6：（1）將嘗試練習(xí)中的①②③的結(jié)論推廣到一般向量，你能得到哪些結(jié)論？（2）比較︱·︱與︱︱×︱︱的大小，你有什么結(jié)論？2、請(qǐng)證明上述結(jié)論。設(shè)和b都是非零向量，則1、⊥·=02、當(dāng)

10、與同向時(shí)，︱·︱=︱︱︱︱；當(dāng)與反向時(shí)，︱·︱=-︱︱︱︱，特別地，·=︱︱2或︱︱=3、︱·︱≤︱︱×︱︱3、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)活動(dòng)四：探究數(shù)量積的運(yùn)算律1、提出問(wèn)題7：我們學(xué)過(guò)了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對(duì)向量是否也適用？預(yù)測(cè)：學(xué)生可能會(huì)提出以下猜想：①·=·②（·）=(·)③（+）·=·+·2、分析猜想：猜想①的正確性是顯而易見(jiàn)的。6關(guān)于猜想②的正確性，請(qǐng)同學(xué)們先來(lái)討論：猜測(cè)②的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？期望學(xué)生回答：左邊是與向量共線的向量，而右邊則是與向量共線的向量，顯然在向量與向量不共線的情況下猜測(cè)②是不

11、正確的。3、明晰：數(shù)量積的運(yùn)算律：已知向量、、和實(shí)數(shù)λ，則：（1）·=·（2）（λ）·=λ（·)=·（λ）（3）（+）·=·+·4、學(xué)生活動(dòng)：證明運(yùn)算律2在證明時(shí)，學(xué)生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學(xué)生完善證明，提出以下問(wèn)題：當(dāng)λ<0時(shí)，向量與λ，與λ的方向的關(guān)系如何？此時(shí)，向量λ與及與λ的夾角與向量與的夾角相等嗎？5、師生活動(dòng)：證明運(yùn)算律（3）活動(dòng)五：應(yīng)用與提高1、學(xué)生獨(dú)立完成：已知︱︱=5,︱︱=4,與的夾角θ=120°，求·2、師生共同完成：已知︱︱=6，︱︱=4,與的夾角為60°，求（+2）·（-3），并思考此運(yùn)算過(guò)程類(lèi)似

12、于哪種實(shí)數(shù)運(yùn)算？3、學(xué)生獨(dú)立完成：對(duì)任意向量，b是否有以下結(jié)論：（1）(+)2=2+2·+2（2）(+)·(-)=2—24、師生共同完成：已知︱︱=3，︱︱=4,且與不共線，k為何值時(shí)，向量+k與-k互相垂直？并討論：通