考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)講義

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1、考研數(shù)學(xué)沖刺班高等數(shù)學(xué)與微積分主講：汪誠義第一章函數(shù)、極限、連續(xù)§1.1函數(shù)一、有關(guān)四種性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性)1.口訣(1)：奇偶函數(shù)常遇到；對稱性質(zhì)不可忘。2.在(a,b)內(nèi)，若，則單調(diào)增加若，則單調(diào)減少口訣(2)：單調(diào)增加與減少；先算導(dǎo)數(shù)正與負(fù)例1求解是奇函數(shù)，∵是奇函數(shù)，∵因此是奇函數(shù)。于是。本文檔由知識社http://www.zhishishe.com分享例2設(shè)，則下列結(jié)論正確的是(A)若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)。83(B)若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)。(C)若為周期函數(shù)，則為周期函數(shù)。(D)若為單調(diào)函數(shù)，則為單調(diào)函數(shù)

2、。解(B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。證明為奇函數(shù)，所以，為偶函數(shù)。例3設(shè)，是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時，下列結(jié)論成立的是(A)(B)(C)(D)解∵，∴單調(diào)減少于是x

3、而xsinxn是比高階的無窮小，則正整數(shù)n等于(A)1(B)2(C)3(D)483解：由題意可知，4>n+1>2，∴n+1=3,n=2選(B)例3設(shè)，則當(dāng)x→0時，是的()(A)高階無窮小(B)低階無窮小(C)同階但不等價的無窮小(D)等價無窮小解選(C)二、有關(guān)兩個準(zhǔn)則準(zhǔn)則1單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。準(zhǔn)則2夾逼定理。例1設(shè)，證明存在，并求其值。解∵83我，(幾何平均值≤算術(shù)平均值)用數(shù)學(xué)歸納法可知n>1時，，∴有界。又當(dāng)n>1時，，，，則單調(diào)增加。根據(jù)準(zhǔn)則1，存在把兩邊取極限，得(舍去)得，∴?？谠E(3)：遞推數(shù)列求極限；單調(diào)有界

4、要先證；兩邊極限一起上；方程之中把值找。例2求。解令，則0

5、理洛必達。第一層次：直接用洛必達法則“”型用洛必達法則Ⅰ“”型用洛必達法則Ⅱ第二層次：間接用洛必達法則“0·∞”型例變?yōu)椤啊毙?3“∞-∞”型例變?yōu)椤啊毙偷谌龑哟危洪g接再間接用洛必達法則“1∞”型，“00”型，“∞0”型均為形式而稱為冪指函數(shù)，比較復(fù)雜?？谠E(6)：冪指函數(shù)最復(fù)雜；指數(shù)、對數(shù)一起上。,而上面三種類型化為,這時一定是“0·∞”型再用第二層次的方法處理即可例=例1求。解原式====83===例2設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，求解原式=(分母令)=(用積分中值定理)=(ξ在0和x之間)=.口訣(7)：變限積分是函數(shù)；遇到之后先求導(dǎo)。公式

6、：(當(dāng)連續(xù)時)例3高a>0,b>0常數(shù)，求解先考慮它是“”型。令83令型=因此，于是，?？谠E(8)離散數(shù)列“洛必達”；先要轉(zhuǎn)化連續(xù)型。五、求分段函數(shù)的極限例求。解∴口訣(9)：分段函數(shù)分段點；左右運算要先行。六用導(dǎo)數(shù)定義求極限例設(shè)曲線與在原點相切，求83解由題設(shè)可知，于是七用定積分定義求極限公式：(連續(xù))例1求。分析如果還想用夾逼定理中方法來考慮而，由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來考慮。解=例2求。83解∵而由夾逼定理可知，口訣(10)：數(shù)列極限逢絕境；轉(zhuǎn)化積分見光明。八、求極限的反問題例1設(shè)，求a和b.解由題設(shè)

7、可知，∴1+a+b=0再對極限用洛必達法則例2、設(shè)在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，>0，且滿足，求83解：先用冪指函數(shù)處理方法再用導(dǎo)數(shù)定義取，于是這樣所以再由，可知C=1，則§1.3連續(xù)一、連續(xù)與間斷例1設(shè)，在內(nèi)有定義，為連續(xù)，且，有間斷點，則下列函數(shù)中必有間斷點為(A)(B)83(C)(D)解：(A)，(B)，(C)不成立可用反例，,(D)成立可用反證法：假若不然沒有間斷點，那么為兩個連續(xù)函數(shù)乘積，一定連續(xù)故矛盾，所以一定有間斷點例2求的間斷點，并判別其類型。解，考慮∴可見為間斷點,是可去間斷點，其它皆為第二類間斷點。二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的

8、性質(zhì)（重點為介值定理及其推論）例1設(shè)在上連續(xù)，且，，證明存在，使得證令，則在上連續(xù)，，根據(jù)介值定理推論，存在使，即證。83例2設(shè)在上連續(xù)，且，求證：存在，使。證∵在上連續(xù)，故有最大值M和最小值m，于是根據(jù)介值定理，存在使∴.口訣（11