高等數(shù)學(xué)考研講義.pdf

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1、第一講極限、無(wú)窮小與連續(xù)性一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖x?fx())nn?1二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：①掌握求極限的各種方法．1②掌握無(wú)窮小階的比較及確定無(wú)窮小階的方法．③判斷函數(shù)是否連續(xù)及確定間斷點(diǎn)的類型（本質(zhì)上是求極限）．④復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)及函數(shù)記號(hào)的運(yùn)算．§1極限的重要性質(zhì)1．不等式性質(zhì)設(shè)limxn?A，limyn?B，且A＞B，則存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)有xn＞yn．n??n??設(shè)limxn?A，limyn?B，且存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)有xn≥yn，則A≥B．n??n??作為上述性質(zhì)的推論，有如下的保號(hào)性質(zhì)：設(shè)limx?A，且A＞0，則存在自然數(shù)N，使

2、nn??得當(dāng)n＞N時(shí)有xn＞0．設(shè)limxn?A，且存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)有xn≥0，則A≥0．n??對(duì)各種函數(shù)極限有類似的性質(zhì)．例如：設(shè)limf(x)?A，limg(x)?B，且A＞B，則存在δ＞x?x0x?x00，使得當(dāng)0

3、某空心鄰域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得x?x0當(dāng)0＜｜x－x0｜＜δ時(shí)有｜f（x）｜≤M．對(duì)其他類型的函數(shù)極限也有類似的結(jié)論．§2求極限的方法1．極限的四則運(yùn)算法則及其推廣設(shè)limf(x)?A，limg(x)?B，則x?x0x?x0f(x)Alim[f(x)?g(x)]?A?B；limf(x)g(x)?AB；lim?(B?0)．x?x0x?x0x?x0g(x)B0只要設(shè)limf(x)，limg(x)存在或是無(wú)窮大量，上面的四則運(yùn)算法則可以推廣到除“”，x?x0x?x00?“”，“0·∞”，“∞－∞”四種未定式以外的各種情形．即：1°設(shè)limf(x)??

4、，limg(x)?B，?x?x0x?x0f(x)則lim[f(x)?g(x)]??.lim??（gx()?0）又B≠0，則lim[f(x)g(x)]??．2°設(shè)x?x0x?x0g(x)x?x0limf(x)??，當(dāng)x→x0時(shí)gx()局部有界，（即???0,M?0，使得0?xx?0??時(shí)gx()?M），x?x02則lim[f(x)?g(x)]??．x?x0設(shè)limf(x)??，當(dāng)x→x0時(shí)｜g（x）｜局部有正下界，（即?δ＞0，b＞0使得0＜｜x－x0｜x?x0＜δ時(shí)｜g（x）｜≥b＞0），則lim[f(x)g(x)]??．x?x03°設(shè)limf(x)??，l

5、img(x)??，則lim?f(x)g(x)???，又?δ＞0使得0＜｜x－x?x0x?x0x?x0x0｜＜δ時(shí)f（x）g（x）＞0，則lim[f(x)?g(x)]??．x?x04°設(shè)limf(x)?0，x→x0時(shí)g（x）局部有界，則lim?f(x)g(x)??0（無(wú)窮小量與有界x?x0x?x0變量之積為無(wú)窮?。?．冪指函數(shù)的極限及其推廣g(x)B設(shè)limf(x)?A＞0，limg(x)?B則limf(x)?A．x?x0x?x0x?x0limgx()ln()fx(lim()fxgx()?limegx()ln()fx?exx?0?eBlnA?AB)x??x0

6、0xx∞00只要設(shè)lim()lim()fx，gx存在或是無(wú)窮大量,上面的結(jié)果可以推廣到除“1”，“0”及“∞”x??x00xx三種未定式以外的各種情形．這是因?yàn)閮H在這三個(gè)情況下limg(x)lnf(x)是“0·∞”型未定x?x0式．1°設(shè)limf(x)=0（0＜｜x－x｜＜δ時(shí)f（x）＞0），limg(x)?B?0，則0x?x0x?x0?0(B?0)gx()lim()fx??xx?0???(B?0)?0(0

7、(x)3°設(shè)limf(x)=+∞，limg(x)?B?0，則limf(x)??x?x0x?x0x?x0???(B＞0)f(x)【例1】設(shè)lim?A，又limg(x)?0，則limf(x)?________．x?x0g(x)x?x0x?x0f(x)【分析】limf(x)＝lim(?g(x))?A?0?0．x?x0x?x0g(x)3【例2】設(shè)｛an｝，｛bn｝，｛cn｝均為非負(fù)數(shù)列，且liman?0，limbn?1，limcn??，則必有n??n??n???（A）an＜bn對(duì)任意n成立．（B）bn＜cn對(duì)任意n成立．（C）極限limac不存在．（D）limbc不

8、存在．nnnnn??n??0?用相消法求或型極限0?