定積分的概念與微積分基本定理(1)

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1、第4講　定積分的概念與微積分基本定理【2013年高考會這樣考】1．考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理．2．利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運動的質(zhì)點的運動路程．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】定積分的考查頻率不是很高，本講復(fù)習(xí)主要掌握定積分的概念和幾何意義，使用微積分基本定理計算定積分，使用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡單的物理問題等．　　基礎(chǔ)梳理1．定積分(1)定積分的定義及相關(guān)概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0

2、，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，當(dāng)n→∞時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx.在f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式．(2)定積分的性質(zhì)①kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù))．②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x

3、)dx(其中a

4、發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始以及微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就．三條性質(zhì)(1)常數(shù)可提到積分號外；(2)和差的積分等于積分的和差；(3)積分可分段進(jìn)行．一個公式由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運算．雙基自測2．(2011·湖南)由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為(　　)．A.B．1C.D.解析　S＝∫－cosxdx＝2∫0cosxdx＝0＝.答案　D4．如圖，在一個長為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x

5、軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機投一點(該點落在矩形OABC內(nèi)任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是(　　)．A.B.C.D.考向一　定積分的計算【例1】　計算下列積分當(dāng)原函數(shù)較難求時，可考慮由其幾何意義解得．考向二　利用定積分求面積【例2】　求下圖中陰影部分的面積．[審題視點]觀察圖象要仔細(xì)，求出積分上下限，找準(zhǔn)被積函數(shù)．解　解方程組得，或S陰影＝dx－8＋

6、－

7、dx＋2＝＋－6＝18.求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟(1)畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點的橫坐標(biāo)．

8、定出積分的上、下限；(2)確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置；(3)寫出平面圖形面積的定積分的表達(dá)式；(4)運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積．【訓(xùn)練2】求曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成圖形的面積．解　由得交點A(1,1)；由得交點B(3，－1)．故所求面積S＝dx＋dx＝＋＝＋＋＝.考向三　定積分的應(yīng)用【例3】　一質(zhì)點在直線上從時刻t＝0(s)開始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)運動．求：(1)在t＝4s的位置；(2)在t＝4s內(nèi)運動的路程．[審題視點]理解函數(shù)積分后的實際意義

9、，確定被積函數(shù)．解　(1)在時刻t＝4時該點的位置為(t2－4t＋3)dt＝＝(m)，即在t＝4s時刻該質(zhì)點距出發(fā)點m.(2)因為v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在區(qū)間[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，在區(qū)間[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4s時的路程為S＝(t2－4t＋3)dt＋

10、(t2－4t＋3)dt

11、＋(t2－4t＋3)dt＝＋

12、

13、＋＝＋＋＝4(m)，即質(zhì)點在4s內(nèi)運動的路程為4m.由s＝v0t＋at2通過求導(dǎo)可推出v＝v0＋at，反之根據(jù)積分的幾何意義，由v＝v(t)(v(t)

14、≥0)可求出t∈[a，b]時間段內(nèi)所經(jīng)過的路程．【訓(xùn)練3】已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛，甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示)．那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是(　　)．A．在t1時刻，甲車在乙車前面B．t1時刻后，甲車在乙車后面C．在t0時刻，兩車的位置相同D．t0時刻后，乙車在甲車前面解析