定積分的概念與微積分基本定理

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1、第4講　定積分的概念與微積分基本定理【2013年高考會(huì)這樣考】1．考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理．2．利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】定積分的考查頻率不是很高，本講復(fù)習(xí)主要掌握定積分的概念和幾何意義，使用微積分基本定理計(jì)算定積分，使用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡(jiǎn)單的物理問題等．　　基礎(chǔ)梳理1．定積分(1)定積分的定義及相關(guān)概念設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義在區(qū)間[a，b]上用分點(diǎn)a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b.把區(qū)間[a，b]分為n個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度依次為Δxi＝xi＋1－x

2、i，i＝0,1,2，…，n－1.2．微積分基本定理如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可積，則＝F(b)－F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一個(gè)原函數(shù)．3．定積分的應(yīng)用(1)定積分與曲邊梯形的面積定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積．這要結(jié)合具體圖形來定：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s＝v(t)dt.一種思想定積分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步驟解決“無限”過程的問題，其方法是“分割求近似，求和取

3、極限”，利用這種方法可推導(dǎo)球的表面積和體積公式等．恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始以及微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就．三條性質(zhì)(1)常數(shù)可提到積分號(hào)外；(2)和差的積分等于積分的和差；(3)積分可分段進(jìn)行．一個(gè)公式由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算．雙基自測(cè)1．(2011·福建)等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1B．e－1C．eD．e＋1解析　(ex＋2x)dx＝＝(e＋1)－1＝e.答案　C2．(2011·湖南)由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝co

4、sx所圍成的封閉圖形的面積為(　　)．A.B．1C.D.解析　S＝∫－cosxdx＝2∫0cosxdx＝0＝.答案　D3．(2011·山東)由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為(　　)．A.B.C.D.解析　由得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(1,1)，因此所求圖形面積為S＝(x2－x3)dx＝＝.答案　A4．如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是(　　)．A.B.C.D.答案　

5、A5．(人教B版教材習(xí)題改編)汽車以v＝(3t＋2)m/s作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第1s至第2s間的1s內(nèi)經(jīng)過的路程是________．解析　s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m)．答案　6.5m　　考向一　定積分的計(jì)算【例1】　計(jì)算下列積分解　(1)dx＝＝－ln2.(2)∫0sin2dx＝∫0dx＝0＝.(3)(cosx＋ex)dx＝(sinx＋ex)

6、＝1－e－π.(4)y＝＝???由圖形可知：＝(1)利用微積分基本定理求定積分，其關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算，因此應(yīng)注意掌握一些常見函

7、數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(2)根據(jù)積分的幾何意義可利用面積求積分．(3)若y＝f(x)為奇函數(shù)，則－af(x)dx＝0.【訓(xùn)練1】解　∫0sin2dx＝∫0dx＝0＝－.可利用面積求得－1dx＝因此原式＝.考向二　利用定積分求面積【例2】　求右圖中陰影部分的面積．[審題視點(diǎn)]觀察圖象要仔細(xì)，求出積分上下限，找準(zhǔn)被積函數(shù)．解　解方程組得，或＝＋－6＝18.求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟(1)畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．定出積分的上、下限；(2)確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置；(3)寫出平面圖形面積的定積分的

8、表達(dá)式；(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積．【訓(xùn)練2】求曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成圖形的面積．解　由得交點(diǎn)A(1,1)；由得交點(diǎn)B(3，－1)．＝＋＝＋＋＝.考向三　定積分的應(yīng)用【例3】　一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t＝0(s)開始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)運(yùn)動(dòng)．求：(1)在t＝4s的位置；(2)在t＝4s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程．[審題視點(diǎn)]理解函數(shù)積分后的實(shí)際意義，確定被積函數(shù)．解　(1)在時(shí)刻t＝4時(shí)該點(diǎn)的位置為(t2－4t＋3)dt＝＝(m)，即在t＝4s時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)m.(2)因?yàn)関(t)＝t2－4t＋3＝(t－

9、1)(t－3)，所以在區(qū)間[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，在區(qū)間[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4s時(shí)的路程為＝＋

10、

11、＋＝＋＋＝4(m)，