電容、部分電容與工作電容

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1、電容、部分電容與工作電容——兼答實驗1的思考題2陳德智（1）電容兩個導(dǎo)體之間存在電容。電容的因果關(guān)系是這樣的：如果導(dǎo)體帶電，則在空間產(chǎn)生電場；電場的分布使得兩導(dǎo)體出現(xiàn)一定的電位差，其值U與導(dǎo)體帶電量q成正比。電容C即定義為導(dǎo)體帶電量q與電壓U的比值。因此，電容是對電場的一種集中參數(shù)化的描述。只要電場的分布是確定的，兩導(dǎo)體之間的電容也是確定的。任意兩個導(dǎo)體，無論形態(tài)差異多大，都有電容存在。此外，需要說明一點，如果空間只有兩個導(dǎo)體，則隱含著兩導(dǎo)體帶電量必然為和，以滿足電荷守恒定律。當(dāng)討論多個導(dǎo)體時，各導(dǎo)體的電荷總量也必須滿足。當(dāng)系統(tǒng)中出現(xiàn)第三

2、個導(dǎo)體時，用部分電容描述導(dǎo)體兩兩之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。為敘述方便，把原來的兩個導(dǎo)體編號為1、2，把第三個導(dǎo)體編號為0。此時，導(dǎo)體1、2之間出現(xiàn)部分電容C12，對電路來說還有工作電容Cp。討論三個電容值C、C12和Cp的數(shù)值關(guān)系是一個饒有趣味的話題。（2）工作電容圖1工作電容首先考察工作電容Cp的含義。無疑，如果只有一對導(dǎo)體（編號1、2），將其接入電路中，那么工作電容Cp就等于電容C，即導(dǎo)體帶電量q與電壓U的比值：。設(shè)若保持兩導(dǎo)體的帶電量q不變，而在場中另外放置一個不帶電的導(dǎo)體（編號為0），則第三個導(dǎo)體0的出現(xiàn)必然改變空間電場的分布，從而導(dǎo)致電壓

3、U發(fā)生變化，設(shè)新的電壓值為。對于連結(jié)兩個導(dǎo)體1、2的電路來說，它并不知道場中具體發(fā)生了什么變化，它只關(guān)心導(dǎo)體上的電荷與導(dǎo)體之間電壓的比值，對它而言，工作電容為。換言之，工作電容就是，在介質(zhì)中可能存在其它不帶電導(dǎo)體的情況下，兩個帶電導(dǎo)體的電荷q與電壓U的比值；當(dāng)不存在其它導(dǎo)體的時候，工作電容Cp就是普通的電容C。如圖1，工作電容；設(shè)0號導(dǎo)體不帶電，則導(dǎo)體1、2帶電量分別為、。根據(jù)部分電容公式，有：又，由電容C10和C20的串聯(lián)關(guān)系得：故：從而：?，F(xiàn)在分析Cp與C的大小關(guān)系。前面說到，Cp的改變在于0號導(dǎo)體（電荷為0）的引入改變了空間電場的分

4、布，從而改變了導(dǎo)體1、2之間的電壓。當(dāng)0號導(dǎo)體位于無限遠(yuǎn)處時，它對電場的影響忽略不計，因此也就不改變導(dǎo)體1、2之間的工作電容，Cp=C。當(dāng)0號導(dǎo)體逐漸移近時，保持導(dǎo)體1、2帶電量q不變，我們考察1、2號導(dǎo)體之間的電壓U12的變化。(a)沒有0號導(dǎo)體時(b)有0號導(dǎo)體時圖20號導(dǎo)體的引入改變了1、2之間的空間電場為計算U12，可以取連結(jié)導(dǎo)體1、2表面的任意一條路徑對電場E積分，如圖2(a)中的l1和l2。為便于分析，設(shè)l1的端點a和b分別為導(dǎo)體1、2表面電場強(qiáng)度E最大的點，我們知道，該點的電場強(qiáng)度，，、為導(dǎo)體表面的自由電荷面密度。顯然，、也

5、分別為導(dǎo)體1和導(dǎo)體2表面電荷面密度的最大值。當(dāng)0號導(dǎo)體逐漸移近時，如圖2(b)，由于0號導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的影響，導(dǎo)體1上的電荷分布發(fā)生改變，a點的部分電荷向靠近0號導(dǎo)體的位置（例如圖中的c點附近）轉(zhuǎn)移，這樣變?。活愃频?，也變小，從而沿路徑l1上的電場強(qiáng)度E都變小，導(dǎo)致積分量變小，因此，工作電容變大。0號導(dǎo)體對工作電容的影響還可以這樣理解：兩導(dǎo)體之間的電容取決于導(dǎo)體的表面積和它們之間的距離。當(dāng)引入第三個導(dǎo)體時，部分介質(zhì)被短路，因而縮短了導(dǎo)體1、2之間的“電距離”，從而使等效電容增大。從力和能量的角度看，導(dǎo)體系統(tǒng)的總能量可表示為；當(dāng)0號導(dǎo)體向?qū)?/p>

6、體1、2組成的系統(tǒng)靠近時，它受到系統(tǒng)的吸引力，因此電場做正功，從而電場能量減少，也得出Cp增大的結(jié)論。綜上，可以得出結(jié)論：引入其他導(dǎo)體時，工作電容。使用大于等于號“”，是因為存在這樣的情形：引入的導(dǎo)體表面剛好填充原來的等位面，則不改變原來的電場分布。讀者可以自己尋找這樣的例子。圖3部分電容的計算（2）部分電容C12根據(jù)部分電容的公式，如果將導(dǎo)體1跟導(dǎo)體0短接，即令，則需要注意這個公式和工作電容計算公式的區(qū)別。計算工作電容Cp時，0號導(dǎo)體不帶電；而計算部分電容C12時，0號導(dǎo)體帶電，它與1號導(dǎo)體帶電總量為q。0號導(dǎo)體的帶電量可以看做是與1號

7、導(dǎo)體短接后分走的部分電荷。設(shè)導(dǎo)體2帶電量仍為，則1號導(dǎo)體剩余的帶電量為。三個導(dǎo)體帶電總量仍為0，如圖3所示?？梢钥隙ǎ?dāng)0號導(dǎo)體逐漸靠近導(dǎo)體1、2時，它分得的電荷逐步增多，導(dǎo)體1帶電量逐步減少，電壓也隨之下降。因此，要想保持不變，唯一的辦法是增大電壓，因此0號導(dǎo)體的靠近使部分電容C12減小。0號導(dǎo)體分走的電荷量，在特定條件下可以是全部電荷q，從而使C12減小到0（參見下文的算例1）；但是，即使0號導(dǎo)體位于無限遠(yuǎn)處，仍可能有，即（參見下文算例2、算例3）。（3）算例驗證（以下推導(dǎo)全部用Mathematica完成）圖4平行板電容器算例1：在1

8、、2兩個導(dǎo)體組成的平行電容器中，插入一個導(dǎo)體板（編號為0），分析工作電容和部分電容。參數(shù)如圖4所示，設(shè)極板面積為S；忽略邊緣效應(yīng)。解：沒有導(dǎo)體0時，電容。插入導(dǎo)體0后，如果保持導(dǎo)體1、2帶電量