考研數(shù)學(xué)春季基礎(chǔ)班高數(shù)下講義-鐵軍(大連

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1、萬學(xué)教育·海文考研2011春季數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班—高等數(shù)學(xué)下2011年萬學(xué)海文高等數(shù)學(xué)春季基礎(chǔ)班考研輔導(dǎo)講義主講鐵軍教授鐵軍教授簡(jiǎn)介：著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家，近幾年在全國(guó)各大城市聲名鵲起，成為與王式安、趙達(dá)夫齊名的考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)“三駕馬車”之一。鐵軍教授從事考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)工作以來，以其高屋建瓴、大氣磅礴、睿智幽默的風(fēng)格，對(duì)考點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)全面、深刻、透徹的把握，關(guān)愛學(xué)生、高度負(fù)責(zé)的態(tài)度以及對(duì)考題的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，令考生受益無窮。特別是鐵軍老師的數(shù)學(xué)全程保過班，更是以無與倫比的連續(xù)性、系統(tǒng)性和考生的數(shù)學(xué)成績(jī)大面積高分而受到廣大莘莘

2、學(xué)子的愛戴！2011年，考研競(jìng)爭(zhēng)空前激烈！萬學(xué)海文邀請(qǐng)鐵軍教授親臨面授，為您考研成功保駕護(hù)航。您的理想將在您我的共同努力下實(shí)現(xiàn)。這是我們的信心，也將是您的信心！第六章多元函數(shù)微積分學(xué)（上）本章將復(fù)習(xí)多元函數(shù)微積分學(xué)中數(shù)學(xué)一、二、三共同要求的內(nèi)容，有利于大家的復(fù)習(xí)和把握。同時(shí)分散了數(shù)學(xué)一的難點(diǎn)，復(fù)習(xí)條理更加清晰。第一節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的推廣與發(fā)展。復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，要對(duì)二者加以比較，既要注意一元函數(shù)與多元函數(shù)在基本概念、理論和方法上的共同點(diǎn)，更要注意它們之間的區(qū)別。63內(nèi)部教材嚴(yán)禁復(fù)

3、制萬學(xué)教育·海文考研2011春季數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班—高等數(shù)學(xué)下【大綱內(nèi)容】多元函數(shù)的概念；二元函數(shù)的幾何意義；二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念；有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分；全微分存在的必要條件和充分條件；多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法；二階偏導(dǎo)數(shù)；多元函數(shù)極值和條件的概念；多元函數(shù)極值的必要條件；二元函數(shù)極值的充分條件；極值的求法；拉格朗日乘數(shù)法；多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。數(shù)學(xué)一要求了解二元函數(shù)的二階泰勒公式，而數(shù)學(xué)二、三、四不要求?！敬缶V要求】要理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何

4、意義；了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念。在方法上，要掌握復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；會(huì)求全微分；會(huì)求隱函（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)；了解二元函數(shù)的二階泰勒公式（數(shù)學(xué)二、三、四不要求）。在應(yīng)用方面，理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，解決一些簡(jiǎn)單的最大最小值應(yīng)用問題?！究键c(diǎn)分析】應(yīng)用鏈鎖規(guī)則求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)問題，是考試的一個(gè)重點(diǎn)。另一個(gè)考試重點(diǎn)是求多元函數(shù)的條件極值和無條件極值。一、多元函數(shù)微分學(xué)

5、的基本概念及其關(guān)系定義1設(shè)二元函數(shù)的某心鄰域內(nèi)有定義，如果動(dòng)點(diǎn)(x,y)以任何方式無限趨于點(diǎn)總是無限趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)時(shí)，。定義2如果連續(xù)。如果在區(qū)域D上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在區(qū)域D上連續(xù)。定理1最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。定理2介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，可以取到它在D上的最小值與最大值之間的任何值。定義3偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作即.63內(nèi)部教材嚴(yán)禁復(fù)制萬學(xué)教育·海文考研2011春

6、季數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班—高等數(shù)學(xué)下類似地，函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義為.定義4如果二元函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D的每一點(diǎn)(x,y)處都有偏導(dǎo)數(shù)，一般地說，它們?nèi)允莤,y的函數(shù)，稱為f(x,y)的偏導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)，記為定義5高階偏導(dǎo)數(shù)如果二元函數(shù)仍然具有偏導(dǎo)數(shù)，則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記作其中稱為混合偏導(dǎo)數(shù)，類似地可以定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù)。定理3如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)都在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在D內(nèi)，即二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求偏導(dǎo)的先后次序無關(guān)。定義6全微分設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)

7、在點(diǎn)(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)f(x,y)的全增量可以表示為，其中A，B不依賴于，而僅與x,y有關(guān)，，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，稱為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)（x,y）處的全微分，記作定理4若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，則必在(x,y)處連續(xù)。定理5可微的必要條件如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且。又對(duì)于自變量x,y有定理6可微的充分條件如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè)有二元函

8、數(shù)63內(nèi)部教材嚴(yán)禁復(fù)制萬學(xué)教育·海文考研2011春季數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班—高等數(shù)學(xué)下在幾何上分別表示曲線的切線對(duì)x軸和對(duì)y軸的斜率?！究键c(diǎn)一】（1）求二元函數(shù)的極限值時(shí)，一般應(yīng)用兩邊夾定理或化為一元函數(shù)的極限進(jìn)行求解。（2）當(dāng)點(diǎn)沿著不同的路徑趨于點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)的極限值不同，則二重極限不存在。【例1】求下列二重極限：（1）（2）（3）【考點(diǎn)二】多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在與可微之間的關(guān)系：可微偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)存在