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《2014年考研數(shù)學(xué)高數(shù)基礎(chǔ)班講義-馮敬?！酚蓵T上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、學(xué)府考研培訓(xùn)學(xué)校2014年數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義主講：馮敬海學(xué)府考研培訓(xùn)學(xué)校2013年3月www.exuefu.com0第一講函數(shù)極限連續(xù)一、函數(shù)的基本性質(zhì)及其復(fù)合1．奇偶性定義：設(shè)函數(shù)fx()在某對稱區(qū)間(?aa,)上有定義，如果對于?∈?x(aa,)，都有fx()=f(?x)（或fx()=?f(?x)）則稱fx()為偶函數(shù)（或fx()為奇函數(shù)）。奇偶性的判斷準則：（a）如果在fx()的表達式中只出現(xiàn)x的偶數(shù)次方，則fx()必為偶函數(shù)。如果在fx()的表達式中只出現(xiàn)x的奇數(shù)次方，則fx()未必為奇函數(shù)。（b）設(shè)函數(shù)fx()在某對稱區(qū)間(?aa,
2、)或[?aa,]上有定義，則fx()+f(?x)必為偶函數(shù)；fx()?f(?x)必為奇函數(shù)。x?xx?x比如：2+2；sin(1+x)sin(1+?x)為偶函數(shù)；2?2；sin(1+x)sin(1??x)為奇函數(shù)。（c）可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù)；可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)。（d）連續(xù)的奇函數(shù)的原函數(shù)必為偶函數(shù)；連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)不一定為奇函數(shù)。x（e）如果fx()為連續(xù)的奇函數(shù)，則Fx()=∫ftdt()為偶函數(shù)；0x如果fx()為連續(xù)的偶函數(shù)，則Fx()=∫ftdt()為奇函數(shù)。0（f）奇、偶函數(shù)的復(fù)合：fx()與gx()只要有一個為偶
3、函數(shù)，則fgx(())必為偶函數(shù)，只有當(dāng)fx()與gx()都是奇函數(shù)時，fgx(())才是奇函數(shù)。例1．設(shè)函數(shù)fx()在某對稱區(qū)間(?aa,)上有定義，則fx()必可寫成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。1例2．設(shè)函數(shù)fx()連續(xù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是xxxx22(A)∫tft(()+f())?tdt,(B)∫tft(()?f())?tdt,(C)∫ftdt(),(D)∫f()tdt,0000例3．設(shè)函數(shù)fx()為可導(dǎo)的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是xxx(A)sinfx′(),(B)∫ft()sintdt,(C)∫f(sin)tdt,(
4、D)∫(sint+ftdt()),0002練習(xí)1：判斷函數(shù)ln(x+1+x)的奇偶性。（奇函數(shù)）?x?12,?x≥0練習(xí)2：判斷函數(shù)fx()=?的奇偶性。（奇函數(shù)）x?2?1,x<02．有界性設(shè)函數(shù)fx()在某區(qū)間X上有定義，如果存在一個正數(shù)M，使得對?∈xX，都有
5、()
6、fx≤M，則稱fx()為有界函數(shù)，否則稱為無界的。例4．判斷下列函數(shù)在給定的區(qū)間上是否有界：1．y=cot,(0,)xπ；2．y=xsin,[0,x+∞)；?1/2?1/23．fx()=xsinx,(0,1)。3．復(fù)合函數(shù)2?2?x,x≤0?x,x<0例5．設(shè)gx()=
7、?，fx()=?。求gfx(())。?x+2,x>0??x,x≥022x練習(xí)1：設(shè)fx(?1)=ln，且f(())?x=lnx。求?()xdx。2∫x?2二、極限的求法數(shù)列極限的定義：設(shè){}a為一數(shù)列，如果存在一個確定的常數(shù)a，使得對任意給定的nε>0，總存在自然數(shù)N()ε，當(dāng)n>N時，不等式2
8、a?a
9、<εn都成立。則稱數(shù)列{}a的極限存在，并稱常數(shù)a為數(shù)列{}a的極限，記為lima=a。nnnn→∞注意：1。lima=∞是一種記號，并不表示數(shù)列{}a的極限存在。nnn→∞2．若數(shù)列{}a的極限存在，則極限必唯一，且{}a為有界數(shù)列。n
10、n1、單調(diào)有界數(shù)列必有極限例6．設(shè)x=2,x=2+xn,=1,2,?。證明limx存在，并求此極限。1n+1nnn→∞2例7．設(shè)00,x=cx,=c+xn,=1,2,?。證明limx存在，并求此極限。1n+1nnn→∞2、兩邊夾原則1nx例8．lim∫dxn→∞1+x02(n+1)1例9.求lim∑。n→∞2kk=nnk例10.求lim∑(1+?1)n→∞n
11、2k=11nnn練習(xí)4.lim(12++3)；n→∞1n2nn練習(xí)5．lim(1+x+(x/2)),(x>0)；n→∞31n3xsinx練習(xí)6．limdx∫3n→∞1sin+x03、無窮小的比較定義：如果函數(shù)fx()當(dāng)x→x（或x→∞）時的極限為零，那么函數(shù)fx()叫做x→x00（或x→∞）時的無窮小。如果lim()fx=A，那么fx()?A為無窮?。▁→x）。0x→x0注：有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮??；有限個無窮小的和為無窮小。無窮小的比較設(shè)α()x與β()x均為無窮小，β如果lim=0，則稱β()x是比α()x高階的無窮小，記作β=
12、?()α；αβ如果lim=∞，則稱β()x是比α()x低階的無窮??；αβ如果lim=≠c0，則稱β()x與α()x是同階的無窮?。沪力氯绻鹟im=1，則稱β()x與α()x是等價的無窮小，記作
