[院校資料]高數(shù)定積分習(xí)題

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1、第6章定積分第6章定積分§6.1定積分的概念與性質(zhì)1．概念定積分表示一個和式的極限其中：，；；幾何意義：表示，，，所圍曲邊梯形面積的代數(shù)和可積的必要條件：在區(qū)間上有界可積的充分條件：（可積函數(shù)類）（1）若在上連續(xù)，則必存在；（2）若在上有界，且只有有限個第一類間斷點，則必存在；（3）若在上單調(diào)、有界，則必存在。2.性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）（5）（6）若，，則推論1：若，，則推論2：（7）若，，則（8）若在上連續(xù)，在上不變號，存在一點243第6章定積分特別地，若，則至少存在一點，或，使得（9）若在

2、上連續(xù)，則其原函數(shù)可導(dǎo)，且（10）若在上連續(xù)，且，則§6.2定積分的計算1.換元法2.分部法，或3.常用公式（1）（2），其中，為連續(xù)偶函數(shù)（3），其中（4）（5）243第6章定積分（6）（7）（8）（9）（10）§6.3廣義積分1.無限區(qū)間的積分（無窮積分）（1）定義與性質(zhì)，若極限存在，則原積分收斂；，若極限存在，則原積分收斂；，必須右邊兩積分都收斂，原積分才收斂；，，，具有相同斂散性；，即收斂積分和仍收斂（2）審斂法比較審斂法：設(shè)，則比較法的極限形式：243第6章定積分設(shè)，則柯西審斂法：設(shè)，則特別地，

3、絕對收斂與條件收斂：2.無界函數(shù)的積分（瑕積分）（1）定義與性質(zhì)（），若極限存在，則原積分收斂；（），若極限存在，則原積分收斂；（），兩積分都收斂，原積分才收斂；，，具有相同斂散性；，即收斂積分和仍收斂（2）審斂法比較審斂法：設(shè)非負，且，若，則比較法的極限形式：若，則柯西審斂法：若，或，則243第6章定積分特別地，§6.5典型例題解析1．變限積分的求導(dǎo)與應(yīng)用解題思路（1）利用公式（2）若被積函數(shù)含積分限變量，需用變量代換化為變限積分的一般形式求解；（3）變限積分是由積分限位置變量決定的函數(shù)，它與積分變量無

4、關(guān)。利用變限積分的求導(dǎo)同樣可以分析函數(shù)的特性。例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（5），求；（6）設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，求（1）解令，當(dāng)時，；當(dāng)時，.,（2）解令，當(dāng)時，；當(dāng)時，.;（5）解（6）解，習(xí)題（3）；（4）243第6章定積分例2設(shè)，求（1）將的極大值用表示出來；（2）將（1）的看作的函數(shù)，求為極小值時的值。解（1），，令，得當(dāng)時，，極大值為當(dāng)時，，極大值為（2）當(dāng)時，令，得，，故時，為極小值；當(dāng)時，，單調(diào)下降，無極值。2．利用定積分定義求和式的極限解題思路若將積分區(qū)間等分，，取，則例3求

5、下列極限（1）解法1其中，將等分，，解法2其中：將等分，，（2）243第6章定積分解法1由于且；故由夾逼定理知原式解法2由于，則（4），其中連續(xù)，并求解原式習(xí)題（3）3.利用定積分的性質(zhì)求極限解題思路（1）若極限含定積分，可利用定積分的中值定理求解；或利用定積分的估值性質(zhì)建立不等式，用夾逼定理求解；（2）若極限含變限積分，可利用羅必達法、夾逼定理和周期函數(shù)的定積分性質(zhì)求解。例4求下列極限（1）243第6章定積分解法1，解法2由定積分的第一中值定理有，（2）解由于，則例5設(shè)在上連續(xù)，且，求解法1由于在上連續(xù)

6、，必有，則解法2由定積分的第一中值定理有，例6確定常數(shù)的值，使解由于243第6章定積分，例7設(shè)，，求解5．利用換元法求定積分解題思路（1）計算定積分時，必須考慮積分變元的變化范圍和應(yīng)用?！R公式的條件。（2）應(yīng)用第一類換元法（湊微分法）直接求解；（3）若被積函數(shù)含，，，分別令，，；（4）作變量代換時須相應(yīng)改變積分限。一般地，積分區(qū)間為，令；積分區(qū)間為，令。（5）被積函數(shù)為，或型積分變量代換條件：積分上下限不變或換位，變換前后形式為；或例12求下列定積分（1）；（2）；（5）；（6）（1）解243第6章定積

7、分（2）解令，，，；，（5）解法1令，，；，解法2利用公式求解（6）解令，，；，例13求下列定積分（1）；（2）243第6章定積分（1）解法1令，，；，解法2利用公式（2）解令，，；，習(xí)題（3）（4）（4）解令，則6．利用分部法求定積分解題思路一般計算方法與不定積分分部法類似。（1）若被積函數(shù)含，，將，取作，其余部分取作；（2）若被積函數(shù)含變限積分，將變限積分取作，其余部分取作243第6章定積分；或?qū)⒃e分化為二重積分，再改變積分次序求解。例14求下列定積分（1）；（2）；（5）設(shè)在上二階連續(xù)可微，求（1

8、）解（2）解因為所以（5）解習(xí)題（3）；（4）例15求下列定積分（1）設(shè)，求解法1243第6章定積分解法2（3）設(shè)在上連續(xù)，且，求解法1由于，則解法2習(xí)題（2）設(shè)，求7．利用公式求定積分解題思路利用恒等變形和變量替換法將積分或部分積分化為已知公式標準型求解例16求下列定積分（1）；（2）；（3）；（1）解243第6章定積分其中，（2）解令，，則其中，令，（3）解法1解法2由于，則習(xí)題（4），為任意實數(shù)8．利用積分區(qū)間的對稱性計