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《考研高數(shù)講義高數(shù)第五章定積分上課資料》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、持之以恒，厚積薄發(fā)第五章定積分115持之以恒，厚積薄發(fā)第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)一、兩個(gè)引例引例1求曲邊梯形的面積求由曲線及直線，，軸所圍成的圖形（曲邊梯形）的面積。115持之以恒，厚積薄發(fā)（1）分割（化整為零）在內(nèi)插入個(gè)分點(diǎn)，即:則被分為個(gè)小區(qū)間，記其長(zhǎng)度為:過(guò)每一分點(diǎn)作平行于軸的直線將曲邊梯形分為個(gè)小曲邊梯形。（2）取近似(不變代變)115持之以恒，厚積薄發(fā)在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，則第個(gè)小曲邊梯形的面積：即：一寬為，高為的矩形面積（3）求和(積零為整)將個(gè)小曲邊梯形面積的近似值相加得曲邊梯形面
2、積之近似值：（4）取極限(無(wú)限逼近)115持之以恒，厚積薄發(fā)設(shè)即小區(qū)間的最大寬度，則：引例2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程115持之以恒，厚積薄發(fā)設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度是時(shí)間段內(nèi)對(duì)的連續(xù)函數(shù)，且．求在時(shí)間段內(nèi)物體經(jīng)過(guò)的路程。（1）分割（化整為零）（2）取近似(不變代變)（3）求和(積零為整)（4）取極限(無(wú)限逼近)二、定積分115持之以恒，厚積薄發(fā)1、定積分的定義：設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插入個(gè)分點(diǎn)，，將分為個(gè)小區(qū)間,記其長(zhǎng)度為,；在每個(gè)小區(qū)間上任取作乘積；再作和，設(shè)，；若當(dāng)時(shí)，的極限總存在，則稱在上
3、可積,稱此極限為在上的定積分，記為：即：115持之以恒，厚積薄發(fā)其中：：積分號(hào)；：積分和；：積分區(qū)間：積分下限；：積分上限；：積分變量；：被積表達(dá)式115持之以恒，厚積薄發(fā)【例1】【答案】115持之以恒，厚積薄發(fā)2、可積條件定理1：設(shè)在上連續(xù)，則在上可積。定理2：設(shè)在上有界且僅有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積。115持之以恒，厚積薄發(fā)3、幾何意義：由曲線及直線，，軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。115持之以恒，厚積薄發(fā)【例2】（97一二）設(shè)在區(qū)間上函數(shù)，，.令，，，則（）(A).(B).(C).(D).【
4、答案】（B）115持之以恒，厚積薄發(fā)【例3】.【答案】115持之以恒，厚積薄發(fā)4、定積分的性質(zhì)規(guī)定：1）時(shí)，=02）性質(zhì)1：性質(zhì)2：（為常數(shù)）115持之以恒，厚積薄發(fā)性質(zhì)3：。實(shí)際上，這里的可以為常數(shù)，即可在之內(nèi)或之外性質(zhì)4:若，則115持之以恒，厚積薄發(fā)性質(zhì)5:若在上，則推論1:若在上，則115持之以恒，厚積薄發(fā)推論2：115持之以恒，厚積薄發(fā)【例4】（03二）設(shè)則（A）（B）（C）（D）【答案】（B）115持之以恒，厚積薄發(fā)性質(zhì)6（估值定理）：設(shè)在上，則115持之以恒，厚積薄發(fā)性質(zhì)7（定積分
5、中值定理）：若在上連續(xù)，則至少一點(diǎn)使得：115持之以恒，厚積薄發(fā)【例5】（91一）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使.115持之以恒，厚積薄發(fā)【相似練習(xí)】（96三）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.求證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.115持之以恒，厚積薄發(fā)第二節(jié)微積分學(xué)基本定理一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)：，。115持之以恒，厚積薄發(fā)性質(zhì)定理1：若在上可積，則在上連續(xù)。115持之以恒，厚積薄發(fā)性質(zhì)定理2：若在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，且它的導(dǎo)數(shù)是：115持之以恒，厚積薄發(fā)性質(zhì)定理3：若在上連
6、續(xù)，則是的一個(gè)原函數(shù)。（原函數(shù)存在定理）該定理說(shuō)明：（1）連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)；（2）（3）連續(xù)，則115持之以恒，厚積薄發(fā)【例1】（92三）設(shè)，其中為連續(xù)函數(shù)，則等于（）（A）.（B）.（C）.（D）不存在.【答案】（B）115持之以恒，厚積薄發(fā)【例2】（90一）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則等于（）（A）.（B）.（C）.（D）.【答案】（A）115持之以恒，厚積薄發(fā)【例3】（95一）.【答案】115持之以恒，厚積薄發(fā)【例4】（93一二）設(shè)，則函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是.【答案】115持之以恒，厚積薄發(fā)【例5
7、】（93一）設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，是的（）（A）等價(jià)無(wú)窮小.（B）同階但非等價(jià)的無(wú)窮小.（C）高階無(wú)窮小.（D）低階無(wú)窮小.【答案】（B）115持之以恒，厚積薄發(fā)【例6】（96一）設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，，，且當(dāng)時(shí)，與是同階無(wú)窮小，則等于（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.【答案】（C）115持之以恒，厚積薄發(fā)二、牛頓—萊布尼茲公式微積分學(xué)基本定理：若為連續(xù)函數(shù)在上的一個(gè)原函數(shù)，則115持之以恒，厚積薄發(fā)【例1】求下列定積分（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）115持之以恒，厚積薄發(fā)【例2】
8、（89一二）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則.【答案】115持之以恒，厚積薄發(fā)【相似練習(xí)】設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且滿足則【答案】115持之以恒，厚積薄發(fā)第三節(jié)定積分的計(jì)算方法一、換元積分法定積分換元法公式：，其中，，。注：（1）“換元三換”（2）換元后求出原函數(shù)不必再換回原來(lái)的變量115持之以恒，厚積薄發(fā)【例1】求下列定積分（1）；（2）【答案】（1）；（2）；115持之以恒，厚積薄發(fā)（3）；（4）【答案】（3）；（4）115持之以恒，厚積薄發(fā)【例2】（90二）.【答案】115持之以恒，厚積薄發(fā)【例3】（91二）計(jì)
