奧數(shù)：第十一講格點(diǎn)與面積

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1、第十一講格點(diǎn)與面積　　請(qǐng)看下圖，這是兩個(gè)畫(huà)在方格紙中的多邊形，圖（a）的多邊形的所有頂點(diǎn)都在方格紙上的橫、縱兩組平行線垂直相交的交點(diǎn)上.圖（b）中的多邊形的頂點(diǎn)至少有一個(gè)頂點(diǎn)不在方格紙上那些橫、縱兩組平行線垂直相交的交點(diǎn)上.（比如A點(diǎn)）像圖（a）這樣的多邊形，我們稱(chēng)它為格點(diǎn)多邊形.什么是格點(diǎn)？平常我們用的方格紙的方格（每個(gè)小方格都是一個(gè)小正方形）都是由橫、縱兩組平行線垂直相交構(gòu)成的，其中相鄰兩條平行線的距離都是相等的（通常規(guī)定是1個(gè)單位），在這樣的方格紙上，橫、縱兩組平行線垂直相交的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn).以格

2、點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)出的多邊形稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形.像圖（b）這樣的多邊形雖然除A點(diǎn)之外所有頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，但我們還不能把它稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形.　　顯然易見(jiàn)，格點(diǎn)多邊形面積的大小，與格點(diǎn)數(shù)目（包括邊界上的）的多少有著密切的關(guān)系.一般看來(lái)，格點(diǎn)多邊形的面積越大（?。顸c(diǎn)數(shù)目（包括邊界上的）就越多（少）.是否存在這兩者之間關(guān)系的精確的計(jì)算公式？通過(guò)它只計(jì)數(shù)格點(diǎn)數(shù)目（包括邊界上的）的多少就能準(zhǔn)確地計(jì)算出格點(diǎn)多邊形面積的大??？下面讓我們共同探索這個(gè)規(guī)律.例1如下圖，計(jì)算下列各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積.　　　　分析本題所給的圖形

3、都是規(guī)則圖形，它們的面積運(yùn)用公式直接可求，只要判斷出相應(yīng)的有關(guān)數(shù)據(jù)就行了.　　解：第（1）圖是正方形，邊長(zhǎng)是4，所以面積是4×4=16（面積單位）.　　第（2）圖是矩形，長(zhǎng)是5，寬是3，所以面積是5×3=15（面積單位）.　　第（3）圖是三角形，底是5，高是4，所以面積是5×4÷2=10（面積單位）.　　第（4）圖是平行四邊形，底是5，高是3，所以面積是5×3=15（面積單位）.　　第（5）圖是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面積是（3+5）×3÷2=12（面積單位）.　　第（6）圖是梯形，

4、上底是3，下底是6，高是4，所以面積是（3＋6）×4÷2=18（面積單位）.例2如下圖（a），計(jì)算這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積.　　分析這是個(gè)三角形，雖然有三角形面積公式可用，但判斷它的底和高卻十分困難，只能另想別的辦法：這個(gè)三角形是處在長(zhǎng)是6、寬是4的矩形內(nèi)，除此之外還有其他三個(gè)直角三角形，如下圖（b），這三個(gè)直角三角形面積很容易求出，再用矩形面積減去這三個(gè)直角三角形面積,就是所要求的三角形面積.　　　　解：矩形面積是6×4=24.　　直角三角形Ｉ的面積是：　　6×2÷2＝6.　　直角三角形Ⅱ的面積是：4×

5、2÷2=4，　　直角三角形Ⅲ的面積是：4×2÷2=4.　　所求三角形的面積是：　　24-（6＋4＋4）=10（面積單位）.例3如右圖，計(jì)算這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積.　　　　　分析這是個(gè)不規(guī)則的多邊形，可以仿照例2的方法，用矩形面積減去四個(gè)直角三角形的面積，如下頁(yè)圖（a）所示.另一種方法可以把所求的四邊形分割成幾塊，只要所分成的每個(gè)圖形的面積好求，那么整個(gè)四邊形的面積就能求了，如圖（b）所示.　　　　　解法1：矩形面積是4×3=12.　　直角三角形Ⅰ的面積是：2×1÷2=1.　　直角三角形Ⅱ的面積是：3÷1

6、÷2=1.5.　　直角三角形Ⅲ的面積是：2×1÷2=1.　　直角三角形Ⅳ的面積是：2×2÷2=2.　　所以，所求四邊形的面積是　　12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面積單位）.　　解法2：根據(jù)圖（b）所示切割的情況，四邊形被切成上、下、左、右四個(gè)三角形和中間一個(gè)矩形，它們的面積分別是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1；　　1×1÷2=0.5；2×1=2.　　所以整個(gè)四邊形的面積是：　　1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面積單位）.　　從解法2可以看到，把一

7、個(gè)圖形切割的方法雖然各有不同，但要遵循的原則是：切割的塊數(shù)越少越好，而且每塊面積都易于求出.　　為探尋圖形面積與格點(diǎn)數(shù)目的關(guān)系，特研究下面例4.例4如下頁(yè)圖，計(jì)算圖（A）與圖（B）的面積.　　　　解：用切割方法（如下圖所示）.　　圖（A）面積為：4×1+4×2÷2=8（面積單位）.　　圖（B）面積為：　　3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面積單位）.　　　　　說(shuō)明：從計(jì)算上我們看到圖A與圖B面積相等.除此之外，它們還有另兩個(gè)共同特點(diǎn)：一是圖A與圖B周界上的格點(diǎn)數(shù)相等，都是8個(gè).二

8、是它們所包含在圖形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)也相等，都是5個(gè).這個(gè)結(jié)論給了我們一個(gè)啟發(fā)：難道兩個(gè)圖形如果周界上的格點(diǎn)數(shù)相同.圖形內(nèi)所包含的格點(diǎn)數(shù)也相同，就一定能斷定這兩個(gè)圖形面積相等嗎？為此讓我們做進(jìn)一步的探索.例5如下圖，計(jì)算下列各格點(diǎn)多邊形的面積，統(tǒng)計(jì)每個(gè)圖形周界上的格點(diǎn)數(shù)與圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù).　　　　解：列表如下：　　　　我們對(duì)表內(nèi)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積都等于周界上的格點(diǎn)數(shù)除以2減1再加上圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù).如果用S表示面積，用N表示圖形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)