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《奧數(shù)：第十一講格點與面積》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第十一講格點與面積 請看下圖，這是兩個畫在方格紙中的多邊形，圖（a）的多邊形的所有頂點都在方格紙上的橫、縱兩組平行線垂直相交的交點上.圖（b）中的多邊形的頂點至少有一個頂點不在方格紙上那些橫、縱兩組平行線垂直相交的交點上.（比如A點）像圖（a）這樣的多邊形，我們稱它為格點多邊形.什么是格點？平常我們用的方格紙的方格（每個小方格都是一個小正方形）都是由橫、縱兩組平行線垂直相交構(gòu)成的，其中相鄰兩條平行線的距離都是相等的（通常規(guī)定是1個單位），在這樣的方格紙上，橫、縱兩組平行線垂直相交的交點稱為格點.以格
2、點為頂點畫出的多邊形稱為格點多邊形.像圖（b）這樣的多邊形雖然除A點之外所有頂點都是格點，但我們還不能把它稱為格點多邊形. 顯然易見，格點多邊形面積的大小，與格點數(shù)目（包括邊界上的）的多少有著密切的關(guān)系.一般看來，格點多邊形的面積越大（?。顸c數(shù)目（包括邊界上的）就越多（少）.是否存在這兩者之間關(guān)系的精確的計算公式？通過它只計數(shù)格點數(shù)目（包括邊界上的）的多少就能準(zhǔn)確地計算出格點多邊形面積的大小？下面讓我們共同探索這個規(guī)律.例1如下圖，計算下列各個格點多邊形的面積. 分析本題所給的圖形
3、都是規(guī)則圖形，它們的面積運用公式直接可求，只要判斷出相應(yīng)的有關(guān)數(shù)據(jù)就行了. 解：第（1）圖是正方形，邊長是4，所以面積是4×4=16（面積單位）. 第（2）圖是矩形，長是5，寬是3，所以面積是5×3=15（面積單位）. 第（3）圖是三角形，底是5，高是4，所以面積是5×4÷2=10（面積單位）. 第（4）圖是平行四邊形，底是5，高是3，所以面積是5×3=15（面積單位）. 第（5）圖是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面積是（3+5）×3÷2=12（面積單位）. 第（6）圖是梯形，
4、上底是3，下底是6，高是4，所以面積是（3＋6）×4÷2=18（面積單位）.例2如下圖（a），計算這個格點多邊形的面積. 分析這是個三角形，雖然有三角形面積公式可用，但判斷它的底和高卻十分困難，只能另想別的辦法：這個三角形是處在長是6、寬是4的矩形內(nèi)，除此之外還有其他三個直角三角形，如下圖（b），這三個直角三角形面積很容易求出，再用矩形面積減去這三個直角三角形面積,就是所要求的三角形面積. 解：矩形面積是6×4=24. 直角三角形Ｉ的面積是： 6×2÷2＝6. 直角三角形Ⅱ的面積是：4×
5、2÷2=4， 直角三角形Ⅲ的面積是：4×2÷2=4. 所求三角形的面積是： 24-（6＋4＋4）=10（面積單位）.例3如右圖，計算這個格點多邊形的面積. 分析這是個不規(guī)則的多邊形，可以仿照例2的方法，用矩形面積減去四個直角三角形的面積，如下頁圖（a）所示.另一種方法可以把所求的四邊形分割成幾塊，只要所分成的每個圖形的面積好求，那么整個四邊形的面積就能求了，如圖（b）所示. 解法1：矩形面積是4×3=12. 直角三角形Ⅰ的面積是：2×1÷2=1. 直角三角形Ⅱ的面積是：3÷1
6、÷2=1.5. 直角三角形Ⅲ的面積是：2×1÷2=1. 直角三角形Ⅳ的面積是：2×2÷2=2. 所以，所求四邊形的面積是 12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面積單位）. 解法2：根據(jù)圖（b）所示切割的情況，四邊形被切成上、下、左、右四個三角形和中間一個矩形，它們的面積分別是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1； 1×1÷2=0.5；2×1=2. 所以整個四邊形的面積是： 1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面積單位）. 從解法2可以看到，把一
7、個圖形切割的方法雖然各有不同，但要遵循的原則是：切割的塊數(shù)越少越好，而且每塊面積都易于求出. 為探尋圖形面積與格點數(shù)目的關(guān)系，特研究下面例4.例4如下頁圖，計算圖（A）與圖（B）的面積. 解：用切割方法（如下圖所示）. 圖（A）面積為：4×1+4×2÷2=8（面積單位）. 圖（B）面積為： 3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面積單位）. 說明：從計算上我們看到圖A與圖B面積相等.除此之外，它們還有另兩個共同特點：一是圖A與圖B周界上的格點數(shù)相等，都是8個.二
8、是它們所包含在圖形內(nèi)的格點數(shù)也相等，都是5個.這個結(jié)論給了我們一個啟發(fā)：難道兩個圖形如果周界上的格點數(shù)相同.圖形內(nèi)所包含的格點數(shù)也相同，就一定能斷定這兩個圖形面積相等嗎？為此讓我們做進一步的探索.例5如下圖，計算下列各格點多邊形的面積，統(tǒng)計每個圖形周界上的格點數(shù)與圖形內(nèi)包含的格點數(shù). 解：列表如下： 我們對表內(nèi)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)：任何一個格點多邊形的面積都等于周界上的格點數(shù)除以2減1再加上圖形內(nèi)包含的格點數(shù).如果用S表示面積，用N表示圖形內(nèi)的格點數(shù)
