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《小公式蘊(yùn)含大智慧》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、小公式蘊(yùn)含大智慧 《圓錐的側(cè)面積和全面積》是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二十四章《圓》的最后一節(jié)內(nèi)容，是前面所學(xué)知識(shí)的繼續(xù)和發(fā)展，在學(xué)生已獲得一定的關(guān)于扇形面積的有關(guān)計(jì)算探究方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究圓錐的側(cè)面積及全面積的一些問題。課前，筆者要求每位學(xué)生自制圓錐形帽子在課堂上展示，他們表現(xiàn)得很踴躍，課堂上，部分同學(xué)將自己的作品大膽展示，這個(gè)時(shí)候筆者的問題就來了！ 問題1：大家都知道，我們?cè)趧?dòng)手制作長方體包裝盒時(shí)，第一步是設(shè)計(jì)它的平面展開圖將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形問題。那么你們?cè)谥谱鲌A錐形帽子時(shí)，首先要考慮的也應(yīng)該是它的平面展開圖形狀是？ 生答：一個(gè)扇形和一個(gè)
2、圓！但是帽子是沒有底面的，所以只要制作一個(gè)扇形就可以得到一個(gè)圓錐的側(cè)面了！ 實(shí)踐出真知，學(xué)生很快得出結(jié)論：反過來，我們發(fā)現(xiàn)任意一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖都是一個(gè)扇形！ 問題2：那我們要得到一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，要怎么做？ 部分同學(xué)回答：沿著圓錐的一條母線展開?！ 栴}3：什么叫做圓錐的母線？ 生答：連接圓錐的頂點(diǎn)與底面圓上任意一點(diǎn)的線段?！ 栴}4：這么說來，圓錐的母線是線段，那么圓錐有多少條母線？ 生答：無數(shù)條；長度唯一；都經(jīng)過圓錐的頂點(diǎn)。4 問題5：前面咱們還學(xué)習(xí)過如何計(jì)算圓錐的體積，你還記得嗎？ 生答：圓錐的體積公式是V圓錐體=■S底面積?h?！ 栴}6：很好，那什么
3、叫做圓錐的高呢？ 生答：圓錐頂點(diǎn)到底面圓心的距離。 問題7：這樣的話，大家思考，圓錐的高也是一條線段，并且只有一條，那圓錐的頂點(diǎn)，底面圓心，底面圓上任意一點(diǎn)圍成一個(gè)什么樣的圖形？ 生答：直角三角形，高和底面半徑是直角邊，母線是斜邊。 問題8：所以由勾股定理可得？ 生答：高2+底面半徑2=母線2，且母線是最長邊?！ 〗酉聛砦覀?cè)賮硌芯繄A錐的側(cè)面積與全面積公式，剛才我們發(fā)現(xiàn)圓錐的平面展開圖是一個(gè)扇形和一個(gè)圓，那圓錐的全面積就是側(cè)面扇形面積與底面圓面積的和?！ 栴}9：對(duì)于扇形面積，前面剛剛學(xué)習(xí)過其兩個(gè)面積公式，這里選擇哪一個(gè)呢？（1）n°圓心角所在扇形面積S扇形=■πγ2；（
4、2）弧長為l的扇形面積為S=■lγ?！ W(xué)生陷入困惑中，筆者繼續(xù)拋出問題。 問題10：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，那么扇形的圓心是圓錐的什么？扇形的半徑是圓錐的什么？扇形的弧長是圓錐的什么？扇形的圓心角呢？4 經(jīng)過幾分鐘的思考，學(xué)生得出結(jié)論：扇形的圓心是圓錐的頂點(diǎn)，扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長是圓錐底面圓的周長。而該扇形的圓心角不能由圓錐直接得到。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，我們應(yīng)當(dāng)選擇扇形面積公式（2）來計(jì)算圓錐的側(cè)面積。這里要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，筆者將課本中對(duì)母線的表示l改為用R表示，目的是讓學(xué)生對(duì)于母線的動(dòng)態(tài)定義：“沿著圓錐的母線，把一個(gè)圓錐的側(cè)面展開，得到一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐
5、的母線長?！苯⒏羁痰睦斫?。這個(gè)改動(dòng)雖然很小，但對(duì)學(xué)生的啟發(fā)不小。于是我們得到S圓錐側(cè)面積=πRγ，S全面積=S側(cè)面積+S底面積=πRγ+πγ2?！ 栴}11：我們剛才發(fā)現(xiàn)該扇形的圓心角不能通過圓錐直接得到，那么大家考慮能不能用弧長公式求出這個(gè)圓心角的度數(shù)呢？（l弧長=■πγ，其中n為圓心角底數(shù)，r為半徑） 經(jīng)過思考，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，是可行的?！ √貏e值得贊揚(yáng)的是一位同學(xué)很巧妙的得到這樣的結(jié)論：我們知道圓錐的側(cè)面扇形弧長即底面圓的周長，即：2πγ=■πR（其中r表示底面圓的半徑，R表示圓錐母線，n表示扇形圓心角度數(shù)），進(jìn)而得到結(jié)論：■=■?！ ∵@個(gè)公式看起來很簡(jiǎn)單，它的最一般的形式
6、是：n=■×360°，但這個(gè)同學(xué)是第一個(gè)想到用圓心角度數(shù)比等于半徑比。這樣的變形在具體解題過程中體現(xiàn)出它非同一般的簡(jiǎn)便與巧妙。學(xué)生充滿創(chuàng)新的思維也讓筆者大受啟發(fā)和鼓舞，筆者給予其充分的肯定與贊揚(yáng)，并借題發(fā)揮，積極鼓勵(lì)他們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)過程中大膽猜測(cè)，進(jìn)而進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，要用辯證的眼光來看待課堂中學(xué)到的任何細(xì)小的知識(shí)點(diǎn)?！ 栴}12：圓錐的側(cè)面展開圖會(huì)是一個(gè)圓嗎？4 探究結(jié)論：學(xué)生在思考中很快發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓時(shí)，圓錐底面半徑等于母線長，此時(shí)圖中的直角三角形直角邊r等于斜邊R，這是不可能的。于是最終得出結(jié)論：圓錐的側(cè)面展開圖不可能是一個(gè)圓?！ 。ㄗ髡邌挝唬宏兾魇⊙影?/p>
7、市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）4
