orlicz空間理論在微分形式不等式中應(yīng)用

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1、Classi?edIndex:O175.2U.D.C:517.9DissertationfortheDoctoralDegreeinScienceTHEORYOFORLICZSPACEAPPLIEDINTHEINEQUALITIESFORDIFFERENTIALFORMSCandidate:DaiZhiminSupervisor:Prof.WangYongAssociateSupervisor:Prof.XingYumingAcademicDegreeAppliedfor:DoctorofScien

2、ceSpecialty:FundamentalMathematicsAf?liation:DepartmentofMathematicsDateofDefence:June,2013Degree-Conferring-Institution:HarbinInstituteofTechnology摘要摘要微分形式作為一類具有反對稱性的張量場，是對多元函數(shù)的一種推廣。這類張量場在物理學(xué)、力學(xué)、工程科學(xué)及數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。例如經(jīng)典分析中的梯度、散度與旋度以及Green、Gauss、Stokes等定理均

3、可借助于微分形式統(tǒng)一表示出來。在函數(shù)中，調(diào)和方程作為一種特殊的偏微分方程，以勢函數(shù)的形式深刻地描述了物理中各種場的性質(zhì)。而微分形式中也有一類特殊的調(diào)和方程，即?-調(diào)和方程，它是許多經(jīng)典調(diào)和方程如p-調(diào)和方程和拉普拉斯方程等的推廣。正是由于微分形式以及微分形式?-調(diào)和方程具有如此廣泛的應(yīng)用價值，引起了學(xué)者們極大的研究興趣。近十幾年來，關(guān)于作用在微分形式上算子的Lp-范數(shù)不等式取得了豐碩的成果。然而把作為對Lp-空間推廣的Orlicz空間中的基本理論應(yīng)用在微分形式不等式的研究卻仍然有待發(fā)展。本文主要研究

4、微分形式中幾類重要的算子如外微分算子d、同倫算子T、投影算子H、Green算子G以及位勢算子P組成的復(fù)合算子T°d°H、G°T、G°P與幾類特殊的Young函數(shù)有關(guān)的積分和范數(shù)估計不等式。然后，又分別從這些積分和范數(shù)不等式獲得了其局部加權(quán)不等式和在L'()-平均域上的全局形式。最后，研究了本文中定義的作用在微分形式上的分次積分算子F在滿足特定的Orlicz條件(即L;'-Hormander¨條件)下的相關(guān)不等式。具體來講，本文作了以下幾個方面的研究工作：1.在畢卉定義的位勢算子P的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步

5、研究了位勢算子P與Green算子G組成的復(fù)合算子G°P的Lp范數(shù)不等式及其局部賦權(quán)形式，并由此給出算子G°P的各種Lipschtz范數(shù)和BMO范數(shù)不等式及其局部賦權(quán)形式。考慮到Lp(logL)-范數(shù)是比Lp范數(shù)更為復(fù)雜的一種具體的Orlicz范數(shù)，我們又分別用兩種不同的方法研究了復(fù)合算子G°T的Lp(logL)-范數(shù)不等式，并進(jìn)一步得到了其局部賦權(quán)形式及其在L'()-平均域上的全局形式。2.研究了各種復(fù)合算子與兩類抽象的Young函數(shù)(即G(p;q;C)-類Young函數(shù)和'p-類Young函數(shù))

6、有關(guān)的積分和范數(shù)不等式。在研究復(fù)合算子T°d°H與G(p;q;C)-類Young函數(shù)有關(guān)的賦權(quán)的積分不等式時，充分利用了G(p;q;C)-類Young函數(shù)的性質(zhì)。而在研究復(fù)合算子G°P與G(p;q;C)-類Young函數(shù)有關(guān)的積分不等式時，不僅要利用G(p;q;C)-類Young函數(shù)的性質(zhì)，還要用到分類討論與劃歸轉(zhuǎn)化的思想。在研究算子G°T與'p-類Young函數(shù)有關(guān)的Lebesgue-I-哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位論文平均測度意義下的Orlicz的范數(shù)不等式時，利用了Orlicz空間理論里的重要范

7、數(shù)不等式。緊接著利用了Orlicz空間中的函數(shù)在倍權(quán)的Young函數(shù)作用下的Lebesgue平均測度積分與Orlicz范數(shù)存在某種比較關(guān)系，得到了算子G°T與'p-類Young函數(shù)有關(guān)的Lebesgue平均測度積分不等式，并且利用了?-調(diào)和方程的特解進(jìn)行了數(shù)值估計以及獲得了在L'()-平均域上全局的形式。3.定義了一種作用在微分形式上且其核函數(shù)滿足S-條件的分次積分算子F.在此基礎(chǔ)上，如果該算子還滿足特殊的Orlicz條件(即L;'-Hormander¨條件)，利用了基本不等式證明了分次積分算子

8、F的Coifman型不等式，并進(jìn)一步證明了它的Poincare′不等式及其在Lp(m)-平均域上的全局的形式以及Lipschitz范數(shù)與BMO范數(shù)不等式。最后，給出了兩個關(guān)于分次積分算子F的Coifman型不等式的具體應(yīng)用。關(guān)鍵詞：微分形式；?-調(diào)和方程；Orlicz空間；Young函數(shù)；范數(shù)；算子；不等式-II-AbstractAbstractDifferentialforms,asaclassofthetensor?eldswithanti-symmetry,ar