二階微分方程及其應(yīng)用

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1、單元2：二階微分方程及其應(yīng)用特定目標(biāo)：1.學(xué)習(xí)解某些特定二階微分方程技巧。2.在實(shí)際的情況下應(yīng)用有關(guān)建立及解二階微分方程的技巧。3.能夠理解二階微分方程的解。時(shí)間內(nèi)容教學(xué)建議分配2.1分類2此部分是一階微分方程的延續(xù)，主要著重研究下列的方程：dd2yy++p()xq()xy=f(x)dx2dx教師應(yīng)詳加陳述這類方程的特點(diǎn)(如y及其導(dǎo)數(shù)為線性，而p、q及f則為x的函數(shù))，并應(yīng)提供足夠例子予學(xué)生，幫助他們分辨不同類別的微分方程如齊次線性方程(f(x)=0)，非齊吹線性方程(f(x)≠0)及非線性方程(不能寫成上述形式的方程)。在此階段，教師可介紹一些二階微分方程的現(xiàn)實(shí)生活例子，如系于彈簧的物體的振

2、動(dòng)，在引力及與速度成正比的阻力作用下的自由下墜運(yùn)動(dòng)，及最佳存貨水平之定價(jià)方針等問題。2.2迭合原理2此原理可用一具體例子說明。例如，讓學(xué)生證明y=x及dd2yy22y=x是xx?2+=2y0的解，然后繼續(xù)證明dx2dx2yx=+34x亦為方程的解。嘗試幾個(gè)例子后，教師可引導(dǎo)學(xué)生證明迭合原理；但對(duì)能力稍遜的學(xué)生，則可刪去證明部分。教師可省略線性齊次方程的解是線性獨(dú)立之原理。教師可以用例子引出迭合原理并不適用于非齊次線性d2y方程及非線性的方程，例如在+y=1的方程中，2dxyx=1s+in及y=1c+osx是方程的解，但yx=3(1+sin)及yx=(1++sin)2(1+cosx)皆不是方程的

3、解。學(xué)生應(yīng)從此例子清楚知道迭合原理只適用于齊次線性的微分方程。10時(shí)間內(nèi)容教學(xué)建議分配2.3常系數(shù)齊次方程4此處只要求學(xué)生利用輔助方程(或特征方程)求此類dd2yy方程的解，其它方法并不需要。ab++cy=0的dx2dx解教師可與學(xué)生討論所產(chǎn)生的三種不同結(jié)果，即輔助方程有兩相異實(shí)根，兩相同實(shí)根，及兩復(fù)共軛根。對(duì)于后者，ux若根是u±vi，則設(shè)y=ze，代入，方程可簡(jiǎn)化為d2z+vz2=0，明顯地，z=cosvx及z=sinvx是新方2dx程的解，從迭合原理可得zc=1cosvx+c2sinvx為方程之-ux通解；代入z=ye于上式后，可得出原方程式的解為uxzc=+(c12osvxcsinvx

4、)e。對(duì)能力較高的學(xué)生，教師可用iθ值等式e=cosθ+isinθ證明上述結(jié)果。此部分對(duì)以后的學(xué)習(xí)很重要，所以教師應(yīng)給予學(xué)生充份的練習(xí)，使其熟練地掌握求解此類方程的技巧。現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用可留至2.7節(jié)。2.4常系數(shù)非齊次方程6教師應(yīng)清楚解釋以下之定理：dd2yyab++cy=f()xdx2dx非齊次線性微分方程的通解是約簡(jiǎn)的齊次方程(即置的解fx()=0)的通解及該非齊次方程的特解之和。(a)余函數(shù)與特別積分教師應(yīng)對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)，為了避兔混亂，一般稱約簡(jiǎn)方程的通解為「余函數(shù)」面稱非齊次方程的特解為「特別積分」，所以，對(duì)非齊次方程來(lái)說通解=余函數(shù)+特別積分此定理之證明,可留給學(xué)生當(dāng)作練習(xí)。11時(shí)間內(nèi)容

5、教學(xué)建議分配(b)待定系數(shù)法學(xué)生只須用待定系數(shù)法求特別積分，而不須用逆算子法。教師可利用下表幫助學(xué)生記憶多種特別積分yp(x)的試用形式。函數(shù)f(x)yp()x的試用形式n2nxaa01++xa2x+?+anx(0)pxpxeAe(p)cpcosxcpsinxApcosx+Bsinpx(ip)cp1cosx+c2sinpx但是教師應(yīng)提醒學(xué)生若上表中括號(hào)內(nèi)之?dāng)?shù)字是輔助方程的重?cái)?shù)為k的根(k=1或2)，則yp(x)的試用形式k應(yīng)為x倍相對(duì)的形式。下列的例子可清楚解釋上述重點(diǎn)。例一2dy設(shè)+=9cyos2x，則輔助方程之根為±3i，故余函數(shù)dx2為ycc=1cos3x+c2sin3x。因?yàn)?i不是輔

6、助方程的根，所以特別積分的試用式是yAp=cos2x+Bsin2x。但是，2dy對(duì)方程+=9cyos3x，余函數(shù)不變，但因3i是輔助dx2方程之根，故此特別積分的試用式應(yīng)是yxp=(cAos3x+Bsin3x)。在上述兩種情況，學(xué)生應(yīng)清楚知道他們必須將yp(x)代入方程方可得出A和B之值。例二2ddyy2設(shè)方程+2=x，因0是輔助方程的其dx2dx中一根(另一根為?2)，故特別積分應(yīng)試12時(shí)間內(nèi)容教學(xué)建議分配yx=+(aBx+Cx2)，同樣地，可將y(x)代入方程計(jì)pp算出A，B和C的值。如果函數(shù)f(x)是幾個(gè)不同類型的函數(shù)的線性組合，則學(xué)生求此類方程的解時(shí)可能有困難，故此，教師應(yīng)提供一些例子

7、加以說明。例三2ddyy3x設(shè)方程?+32yx=4+e，輔助方程的根是1dx2dx和2。因0和3不是輔助方程的根，所以嘗試3xyAp=+01Ax+Be。教師應(yīng)指出AA01+x是相對(duì)4x的3x3x特解，而Be是相對(duì)e的特解。但是，若方程是dd2yyxx?32+=yx4+e，則因?yàn)?(1是e的指數(shù)xdx2dx的系數(shù))是輔助方程的根，yp(x)的試用形式應(yīng)是xyAp=+01Ax+Bxex相對(duì)4x相對(duì)e為