對全概率公式及其應(yīng)用的討論

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1、第22卷第4期武漢水利電力大學(xué)(宜昌)學(xué)報Vol.22No.42000年12月J.ofUniv.ofHydr.&Elec.Eng./YichangDec.20003對全概率公式及其應(yīng)用的討論楊元啟(湖北三峽學(xué)院)摘要指出了全概率公式、條件概率及貝葉斯公式在實際應(yīng)用中與其理論上的矛盾,從應(yīng)用的角度重新敘述并精確論證了這些公式,彌補(bǔ)了原理論上的不足.關(guān)鍵詞全概率公式;轉(zhuǎn)移概率;概率空間;條件概率分類號O211.61問題的提出全概率公式、條件概率及貝葉斯公式是概率論中的幾個基本公式,在一般教材中,全概率公式的內(nèi)容如下:∞(Ω,F,P)為一概率空間,{A1:i∈N}<

2、F(N表示自然數(shù)全體)Ai,i=1,2,3?互不相容,且∪Ai=i=1∞∞Ω,則PB∈F,均有:P(B)=6P(AiB)=6P(Ai)P(B

3、Ai)i=1i=1這一公式在討論相依的隨機(jī)試驗時是很有用的,舉例如下:甲盒中有a個白球,b個黑球,乙盒中有c個白球,d個黑球,a,b,c,d均為整數(shù),從甲盒中任意取一球放入乙盒,然后再從乙盒中任意取一球,問從乙盒中取出的球是白球的概率是多少?設(shè)H1={從甲盒中取出的球為白球},H2={從甲盒中取出的球為黑球},A={從乙盒中取出的球為白球},B={從乙盒中取出的球為黑球}1abc+1則H1∩H2=é,H1∪H2=Ω,P(

4、H1)=,P(H2)=,P(A

5、H1)=,P(A

6、H1)=a+ba+bc+d+1c,由全概率公式得c+d+1ac+bc+aP(A)=P(AH1)+P(AH2)=P(H1)P(A

7、H1)+P(H2)P(A

8、H2)=(a+b)(c+d+1)在上述解題過程中,Ω是什么?P是什么?是經(jīng)不起推敲的,若試圖將它們寫出來,可這樣理解:隨機(jī)試驗E應(yīng)看作復(fù)合試驗E=E1×E2,其中,E1為從甲盒中取一球,E2為從乙盒中取一球,E1與E2是相依的1E1、E2對應(yīng)的概率空間分別為(Ω1,F1,P1)及(Ω2,F2,P2),其中Ω1={H1,H2},F1={é,Ω1,H1,abH2}

9、,P1(H1)=,P1(H2)=,Ω2={A,B},F2={é,Ω2,A,B},P2正是我們想要求的,根據(jù)前面a+ba+b解法P2(A)=P(H1A)+P(H2A)=P1(H1)P(A

10、H1)+P1(H2)P(A

11、H2)上式中,P(·)是沒有定義的,A與H1及H2也分屬不同的事件域,因此上式是無意義的13湖北省教委青年發(fā)展項目(98B016)收稿日期:2000211201楊元啟,碩士,講師,主要從事隨機(jī)過程、隨機(jī)分形的教學(xué)與研究1湖北三峽學(xué)院數(shù)學(xué)系(443000)?1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishin

12、gHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第22卷第4期楊元啟對全概率公式及其應(yīng)用的討論3512全概率公式定義1(Ω1,F1)及(Ω2,F2)為2個可測空間,函數(shù)K(·,·):Ω1×F2→[011]稱為由(Ω1,F1)到(Ω2,F2)的轉(zhuǎn)移概率,如果它滿足條件:(1)Pω∈Ω,K(ω,·)是(Ω2,F2)上的概率測度;(2)PB∈F2,K(·,B)是Ω1上F1一可測函數(shù)1引理1設(shè)K是由{Ω1,F1}到{Ω2,F2}的一個轉(zhuǎn)移概率,P1為{Ω1,F1}上的一概率測度,則有:(1)令P2(B)=∫ΩK(ω,B)P1(d

13、ω),B∈F2,則P2為(Ω2,F2)上的概率測度;1(2)令P(E)=∫ΩK(ω,Eω)P1(dω)=∫Ω∫ΩIE(ω,δ)K(ω,dδ)P1(dω),E∈F1×F2,則P為(Ω1112×Ω2,F1×F2)上的概率測度11(ω,δ)∈E式中Eω={δ∈Ω2:(ω,δ)∈E}IE(ω,δ)=0(ω,δ)

14、E證參見文獻(xiàn)[4]第四章§31∞定理1(全概率公式)在引理1的條件下,設(shè){Ai}i≥1

15、=Ω1,i≠j時,Ai∩Aj=é,易知i=1∞∫K(ω,B)P1(dω)=6K(ω,B)P1(dω)(1)Ω∫A1i=1in事實上,B∈F2固定時,K(ω,B)=limK(ω,B)6IA(ω),由單調(diào)收斂定理知(1)成立,又由于PA∈F1,n→∞i=11Bω∈A(A×B)ω=,于是éω∈AP(A×B)=∫K(ω,(A×B)ω)P1(dω)=K(ω,B)P1(dω)(2)Ω∫A1∞∞故P2(B)=∫K(ω,B)P1(dω)=6K(ω,B)P1(dω)=6P(Ai×B)Ω∫A1i=11i=1注:(1)若隨機(jī)試驗E1、E2獨立,則P2(B)=K(ω,B)(Pω∈Ω1

16、,B∈F2);(2)A∈F1,B∈F2