全概率公式及其應(yīng)用

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1、全概率公式及其應(yīng)用(清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系葉俊)命題趨勢(shì):即使是填空題和選擇題，只考單一知識(shí)點(diǎn)的試題很少，大多數(shù)試題是考查考生的理解能力和綜合應(yīng)用能力。要求大家能靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，建立起正確的概率模型，綜合運(yùn)用極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、極值、積分、廣義積分以及級(jí)數(shù)等知識(shí)去解決問(wèn)題。1.全概率公式和Bayes公式概率論的一個(gè)重要內(nèi)容是研究怎樣從一些較簡(jiǎn)單事件概率的計(jì)算來(lái)推算較復(fù)雜事件的概率，全概率公式和Bayes公式正好起到了這樣的作用。對(duì)一個(gè)較復(fù)雜的事件A，如果能找到一伴隨A發(fā)生的完備事件組，而計(jì)算各個(gè)的概率與條件概率相對(duì)又要容易些，這時(shí)為了計(jì)算與事件A有關(guān)的概率，可能需要使

2、用全概率公式和Bayes公式。背景：例如，在醫(yī)療診斷中，為了診斷出現(xiàn)癥狀的患者，到底患了疾病中的哪一種，可用Bayes公式算出在癥狀的情況下，起因于疾病的概率，而后按各個(gè)后驗(yàn)概率的大小來(lái)推斷患者患哪種病的可能性最大．完備事件組的理解：所有病因都知道，且沒(méi)有并發(fā)癥。定義稱事件族為樣本空間的一個(gè)劃分（也稱為一個(gè)完備的事件組），如果滿足且。進(jìn)而，如還有則稱為樣本空間的一個(gè)正劃分。一般地，劃分可用來(lái)表示按某種信息分成的不同情況的總和，若劃分越細(xì),則相應(yīng)的信息更詳盡。定理1(全概率公式)設(shè)事件為樣本空間的一個(gè)正劃分，則對(duì)任何一個(gè)事件,有定理2(Bayes公式)設(shè)為樣本空間的一個(gè)正劃

3、分,事件滿足,則．若將它與全概率公式結(jié)合起來(lái),就是Bayes公式的以下的常用形式(,m)公式的直觀理解：如果我們把看成是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種可能“原因”，那么，全概率公式告訴我們，事件發(fā)生的概率恰好是事件在這些“原因”下發(fā)生的條件概率的加權(quán)平均，其中的權(quán)重分別為．而已知“結(jié)果”找“原因”的問(wèn)題則可以用Bayes公式來(lái)計(jì)算。且告訴我們“導(dǎo)致”的可能性的大小恰與乘積成比例．2.幾個(gè)典型的例子2.1樹(shù)狀圖法例1某商場(chǎng)出售的燈泡來(lái)自甲、乙、丙三個(gè)工廠，甲廠產(chǎn)品占80%，合格率為90%，乙廠產(chǎn)品占10%，合格率為95%，甲廠產(chǎn)品占10%，合格率為80%。某顧客購(gòu)買了一燈泡，求它是合格

4、品的概率。2.2一般方法（公式法）例2假設(shè)有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件一等品；第二箱內(nèi)裝30件，其中18件一等品?，F(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè)零件（取出的零件均不放回），試求：（1）先取出的零件是一等品的概率p；（2）在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等品的條件概率q。解引進(jìn)下列事件：＝{被挑出的是第i箱}（i=1,2）={第j次取出的零件是一等品}（j＝1，2）由條件知(1)由全概率公式，知(2)由條件概率的定義和全概率公式，知===例3　采購(gòu)員要購(gòu)買10個(gè)一包的電器元件.他的采購(gòu)方法是：從一包中隨機(jī)抽查3個(gè)

5、,如這3個(gè)元件都是好的,他才買下這一包.假定含有4個(gè)次品的包數(shù)占30%，而其余包中各含1個(gè)次品.求采購(gòu)員拒絕購(gòu)買的概率。解記則構(gòu)成樣本空間的一個(gè)正劃分，且又由古典概型計(jì)算知從而由全概率公式得到.例4已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱中任取3件放入乙箱后，試求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。解設(shè)A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”,根據(jù)全概率公式,有2.3首步分析法與末步分析法例5(賭徒輸光問(wèn)題)設(shè)甲有賭本元,其對(duì)手乙有賭本元．每賭一次甲以概率贏一元,而以概率輸一元．假定不欠不借，賭博一直到甲乙中有一人輸光

6、才結(jié)束．因此，兩個(gè)人中的贏者最終有總賭資元．求甲輸光的概率．解　一般地，我們以記甲有賭本元而最終輸光的概率．而求此概率的關(guān)鍵是給出下面的事件關(guān)系式，其方法稱為首步分析法．記事件{甲有賭本i元，但最終輸光},={甲第1次賭贏}．于是我們有，．由上述關(guān)系式及全概率公式，我們得到=.(1)這是一個(gè)常系數(shù)二階差分方程,且滿足兩個(gè)邊界條件:,．為解(1),注意到它等價(jià)于．故當(dāng)且時(shí),由得到(2).令,　再利用可解出.從而得到，當(dāng)且(即)時(shí)有.而當(dāng)時(shí)，還是由(2)式，我們有令,可得．從而有．例6連續(xù)地拋擲一個(gè)很不均勻的硬幣n次.假定這次拋擲并不相互獨(dú)立:第1次出現(xiàn)正面的概率為,第2次后

7、每次出現(xiàn)與前一次相同的面的概率為.求第n次時(shí)出現(xiàn)正面的概率,并討論時(shí)的情況。解令={第n次出現(xiàn)正面},并記欲求之概率為,.這時(shí)發(fā)生與否與發(fā)生與否是密切相關(guān)的，若發(fā)生了，則發(fā)生的概率就為,所以,。同理，。顯然，,是的一個(gè)劃分．利用全概率公式，我們有由于，故由遞推計(jì)算可得討論?。?）若,則,故.（2）若,則,只有當(dāng)時(shí),才存在且等于.（3）對(duì)一般有.3．全概率公式和Bayes公式的應(yīng)用3.1與離散型隨機(jī)變量的結(jié)合例7設(shè)一個(gè)人在一年中患感冒的次數(shù)X服從參數(shù)為5的Poisson分布,假設(shè)現(xiàn)在市場(chǎng)上正在銷售一種預(yù)防感冒的新型特效藥,對(duì)75