具功能性反應(yīng)的兩種群模型的定性分析

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1、大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文1緒論1．1問(wèn)題研究的背景及意義種群生態(tài)學(xué)是生態(tài)學(xué)中的一個(gè)重要分支，也是與人們的生產(chǎn)及生活最密不可分的學(xué)科之一．人與其它生物共同生活在這個(gè)地球上，為了滿足人類自身的生存與發(fā)展的需要，我們就要對(duì)各種生物資源進(jìn)行合理的開(kāi)發(fā)與科學(xué)的管理．我們對(duì)種群生態(tài)學(xué)進(jìn)行研究，一方面是要對(duì)種群的發(fā)展變化有定量的分析與預(yù)測(cè)，另一方面是在人為的因素的影響下，對(duì)種群的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行定性分析，使其既可以維持生態(tài)系統(tǒng)的平衡，又可以滿足人類自身的發(fā)展需要，這對(duì)于我們實(shí)行可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略有著非常重要的作用．因此，我們對(duì)種群生態(tài)學(xué)的研究，在經(jīng)濟(jì)學(xué)和生物

2、學(xué)方面都有著重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義．種群生態(tài)學(xué)的主要研究對(duì)象之一是食餌一捕食者兩種群模型．自上世紀(jì)六十年代以來(lái)，此類模型在國(guó)內(nèi)外已引起眾多數(shù)學(xué)家和生態(tài)學(xué)家的廣泛關(guān)注．到上世紀(jì)八十年代，對(duì)食餌一捕食者兩種群模型的研究取得了較大的進(jìn)展【1．1¨．食餌一捕食者兩種群模型的根本價(jià)值在于它來(lái)自于現(xiàn)實(shí)又應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，而許許多多的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題往往都可歸結(jié)為常微分方程的數(shù)學(xué)模型．因此，常微分方程定性理論與穩(wěn)定性理論[12-17]就成了研究該類模型的最重要的數(shù)學(xué)工具之一．由于常微分方程定性理論與平面幾何緊密的結(jié)合在一起，從而形成了處理平面系統(tǒng)的一系列獨(dú)特的數(shù)學(xué)方

3、法．近年來(lái)，有關(guān)利用常微分方程定性理論研究生態(tài)系統(tǒng)的文獻(xiàn)已大量涌現(xiàn)，并陸續(xù)出版了一系列的專著[12-Is]，廣泛的應(yīng)用背景促進(jìn)了這一理論迅速而深入的發(fā)展．1．2食餌一捕食者兩種群模型經(jīng)典的描述兩種群生長(zhǎng)過(guò)程的食餌一捕食者模型是A．J．Latka和V．Volterra分別各自建立的．其模型的一般形式是魯=x(D[q一61y(f)]，(1．1)d掰y=y(f)[-口2+62石(吼其中x(f)和y(f)分別表示食餌和捕食者的數(shù)量，口l，6l，a2，62都是正的常數(shù)，q是在沒(méi)有捕食者時(shí)食餌的增長(zhǎng)率，bl是捕食者的捕食率，口：是在沒(méi)有捕食者時(shí)食餌

4、自身的死亡率，62是食餌轉(zhuǎn)化為捕食者的轉(zhuǎn)化系數(shù)．具功能性反應(yīng)的兩種群模型的定性分析對(duì)于一個(gè)確定的地域而言，在沒(méi)有捕食者時(shí)，食餌也是不能無(wú)限制地增長(zhǎng)，即一個(gè)確定的地域?qū)畏N群有一個(gè)最大的容納量，描述單種群生長(zhǎng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是所謂的Logistic方程o”竺；=x(r)[口一缸(f)]，(1．2)口r其中口是種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，等是地域?qū)ΨN群的容納量．6系統(tǒng)(1．1)是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的Latka-Volterra模型，它建立的過(guò)程中沒(méi)有考慮種群的密度制約因素．如果考慮密度制約，設(shè)在沒(méi)有其它種群干擾時(shí)，種群的增長(zhǎng)適合Logistic方程(1．2)

5、，即在方程(1．1)的兩個(gè)方程中，分別加上一項(xiàng)與種群規(guī)模成正比的密度制約項(xiàng)，從而兩種群相互作用的Latka—Volterra模型的一般形式可寫成其中bl與c2分別反映兩種群的密度作用因素，當(dāng)bIc：是不同時(shí)為零的正數(shù)時(shí)為密度制約，當(dāng)bIc：同時(shí)為零時(shí)為非密度制約，關(guān)于上述各模型的研究結(jié)果可參閱文獻(xiàn)[1—4，18—21]．在食餌一捕食者兩種群模型中，具功能性反應(yīng)的互相干擾的食餌一捕食者兩種群模型是一類非常重要的并具有廣泛背景的模型，它的一般形式是其中z(f)表示食餌種群在時(shí)刻r的密度，y(t)表示捕食者種群在時(shí)刻f的密度，函數(shù)g(x)為食

6、餌種群的增長(zhǎng)率，9(z)是捕食者種群的功能性反應(yīng)函數(shù)，m(O0是生物種群的變換系數(shù)．當(dāng)所=1時(shí)，即可得到如下的功能反應(yīng)函數(shù)的模型3Ⅺ、如0Dy“q氣一D力攻X6h1+一b曠電力D娟滅=出一西方一衍^1Ⅺp一、乃冊(cè)D吵枷啪砌0O妒m●Cy+一”)，F(xiàn)嘞“玫“／L一烈卜rf‘加畎=出一卉砂一西大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文對(duì)模型(1．5)，許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)具各種不同的功能反應(yīng)函數(shù)進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)[3·11】等．Hollin

7、g在文[3】以及Freedman和Wolkowicz在文[11】中給出了功能性反應(yīng)函數(shù)應(yīng)滿足的條件，最常見(jiàn)的功能性反應(yīng)函數(shù)有以下幾種：(1)9I(x)：j餞，o≤z≤xo；【(巰，x>而(2)妒(z)=．等；l十∞X(3)妒(z)：#魯；l十a(chǎn)Ⅸ(4)9(x)：-％；l十mx十C暇對(duì)以上四種不同的功能反應(yīng)所對(duì)應(yīng)的食餌．捕食者兩種群模型，國(guó)內(nèi)外許多數(shù)學(xué)工作者進(jìn)行卓有成效的研究，見(jiàn)文f3．11，23．35]．但我們注意到已有的文獻(xiàn)多是在所=1時(shí)的情況，而對(duì)于當(dāng)0<朋<1時(shí)的模型(1．4)的研究相對(duì)較少，同時(shí)對(duì)于食餌或捕食者的相對(duì)增長(zhǎng)率為其它

8、非線性函數(shù)，功能性反應(yīng)函數(shù)亦為非線性函數(shù)，如緲(x)=舡4(0