一類(lèi)可解區(qū)傳遞自同構(gòu)群

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1、碩十學(xué)位論文第一章緒論同構(gòu)群，這意味著每一條線都包含同樣數(shù)量的點(diǎn)，我們將次線性空間稱為詎則線性空問(wèn)，即通常所說(shuō)的2一(v，k，1)設(shè)計(jì)．而一個(gè)，一(v，k，五)設(shè)計(jì)D=(Q，B)(或簡(jiǎn)稱，一設(shè)計(jì))是由’，個(gè)點(diǎn)的集合Q和它的一些k一元子集(稱為區(qū)或線)組成的集合B，且滿足對(duì)于Q的任意t一子集，恰好有力個(gè)區(qū)(或條線)包含它．D的自同構(gòu)群G是Sym(【2)的這樣的子群，對(duì)任意g∈G，L∈B有口∈B．因此，按照區(qū)的一個(gè)結(jié)果([13])，G同時(shí)作用在Q及B上．并假定Q是有限點(diǎn)集，lBl>1．1．2．12一傳遞群與設(shè)計(jì)1980年左右，人們完成了有限

2、單群的分類(lèi)．此后，群論中許多懸而未決的問(wèn)題得到了解決．首先是2一傳遞群的分類(lèi)獲得了解決．Kantor利用這個(gè)分類(lèi)定理獲得了具有2一傳遞自同構(gòu)群的2一(v，七，1)設(shè)計(jì)(正則線性空間)的分類(lèi)．這種設(shè)計(jì)我們稱之為2一傳遞設(shè)計(jì)．定理1．2．1．1t14，15】設(shè)D=(Q，B)是2一(v，k，1)設(shè)計(jì)，G是它的2一傳遞的自同構(gòu)群(在點(diǎn)集Q上)，則下列之一成立：(a)D=PG(d，q)，即GF(q)上的d一維射影空間，d≥2且PSL(d，q)≤G≤PFL(d，q)，或者(d，q)=(3，2)且G=4；(b)D=XG(d，q)，即GF(g)上仿射空

3、間，d≥2且G是AFL(d，q)的2一傳遞子群；(C)D是Hermitianunital，它是這樣的一個(gè)設(shè)計(jì)，點(diǎn)和區(qū)分別是GF(q)上的3一維空間的93+1個(gè)迷向1一維空間和非奇異2一維空問(wèn)，且PSU(3，q)≤G≤PFU(3，g)；(d)D是Reeunital，Ree(q)=2G2(g)≤G≤Aut(Ree(q))，這里q=32川≥3，Q是一個(gè)93+1個(gè)點(diǎn)的集合，B是一個(gè)G中的對(duì)合的穩(wěn)定點(diǎn)的集合；(e)D是兩個(gè)non—Desarguesion仿射平面，且k=27(Hereing平面)或k=9(nearfield平面)；(f)D是設(shè)計(jì)2

4、一(36，321)設(shè)計(jì)，G=霹：SL(2，13)．1．2．2旗傳遞設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)D=(Q，B)的一個(gè)對(duì)(口，L)，這里口∈Q，L∈BKa∈L．設(shè)計(jì)D稱為旗傳遞，如果它的自同構(gòu)群在D的旗集合上是傳遞的．最有趣的旗傳遞設(shè)計(jì)是具有參數(shù)，=2和允=1的情況．在這種情形下，Higman和McLaughlin在1961年證明了它的自同構(gòu)群在Q上是本原的，即D是點(diǎn)本原的(本原的定義出現(xiàn)在第二章)．在([12，18，19，20])中，幾個(gè)人證明了旗傳遞2一(v，k，1)設(shè)計(jì)(正則線性2碩+學(xué)位論文第一章緒論空間)的自同構(gòu)群的基柱(Socle)是初等交換群或者

5、是一個(gè)非交換單群．利用這個(gè)結(jié)果，Buekenhout等人分類(lèi)了這種設(shè)計(jì)．定理1．2．2．1【21，221設(shè)D=(Q，B)是一個(gè)2一(v，尼，1)設(shè)計(jì)，它的白同構(gòu)群是旗傳遞的．則下列之一成立：(a)O是定理1．2．1．1中之一；(b)O是Witt—Bose—Shrikhande空問(wèn)，即PSL(2，q)≤G≤PFL(2，q)，這罩q=2”≥8，Q是一個(gè)q(q一1)／2個(gè)點(diǎn)的集合，B是PSL(2，g)中的對(duì)合的穩(wěn)定點(diǎn)的集合；(C)D是non—Desarguesion．Luneburg仿射平面，它的階是七=22“1；(d)1，是一個(gè)素?cái)?shù)方冪，G

6、≤AFL(1，1，)．對(duì)于情形(d)，他們沒(méi)有給出徹底的分類(lèi)，但有許多例子，如廣義Netto系和Kantor系．這個(gè)定理在有限幾何中有重要的應(yīng)用．在有限射影平面中，Delandsheer和Doyen利用這個(gè)定理研究了semiovalS([24])和極大弧([25])．1．2．3區(qū)傳遞設(shè)計(jì)在區(qū)傳遞設(shè)計(jì)的這個(gè)領(lǐng)域中，關(guān)于2一(v，尼，五)設(shè)計(jì)，最近有一些新的結(jié)果．我們知道，如果f一設(shè)計(jì)的自同構(gòu)群在它的區(qū)集合上是傳遞的，則它也是點(diǎn)傳遞的([26])．現(xiàn)在旗傳遞2一(v，后，1)設(shè)計(jì)一定是點(diǎn)本原的([17])．但無(wú)論如何，區(qū)傳遞2一(v，七，1

7、)設(shè)計(jì)不能推出點(diǎn)本原．Delandsheer和Doyen證明了定理1．2．3．1【271設(shè)D是一個(gè)區(qū)傳遞，非點(diǎn)本原的2一(1，，后，A)設(shè)計(jì)，則v≤(阱1)2Ray—Chaudhuri和Wilson([28])證明了一個(gè)區(qū)傳遞4一設(shè)計(jì)的自同構(gòu)群是2一齊次的，因而是點(diǎn)本原的．因此，對(duì)于一個(gè)區(qū)傳遞，非點(diǎn)本原的，一設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，參數(shù)，至多為3．在[29]中，Cameron和Praeger證明了：對(duì)于區(qū)傳遞非點(diǎn)本原3一(1，，后，力)設(shè)計(jì)，如果Aut(D)保持Q的這樣的分劃：要么是兩個(gè)非本原區(qū)，要么是每個(gè)非本原區(qū)的長(zhǎng)都是非2．則一定有V≤阱他們利用

8、計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了當(dāng)七≤70時(shí)，上述不等式也成立．但是對(duì)于一般的情形，這仍然是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題．猜想1．2．3．2對(duì)于一個(gè)區(qū)傳遞，非點(diǎn)本原的3一(’，，后，五)設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，一定有3碩十學(xué)位論文第一章緒論V≤阱當(dāng)，=2時(shí)