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《《群的自同構(gòu)群》PPT課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、近世代數(shù)§5群的自同構(gòu)群7/25/202115:20本節(jié)討論群的全體自同構(gòu)作成的群.首先我們來(lái)考慮更一般的代數(shù)系統(tǒng)的自同構(gòu)群.7/25/202115:20定理1設(shè)M是一個(gè)有代數(shù)運(yùn)算(叫做乘法)的集合,則M的推論1群G的全體自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法作成例1求Klein四元群的自同構(gòu)群.全體自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群,稱為M的自同構(gòu)群.一個(gè)群,這個(gè)群稱為群G的自同構(gòu)群,記為AutG.7/25/202115:207/25/202115:20定理2無(wú)限循環(huán)群的自同構(gòu)群是一個(gè)2階循環(huán)群;n階為Euler函數(shù).證:由于在同構(gòu)映射下,循環(huán)群的生成元與生成個(gè)生成元,
2、從而其自同構(gòu)群分別為2階循環(huán)階群,其中循環(huán)群的自同構(gòu)群是一個(gè)元相對(duì)應(yīng),而生成元的相互對(duì)應(yīng)完全決定了群中所有元素的對(duì)應(yīng),因此一個(gè)循環(huán)群有多少個(gè)生成元就有多少個(gè)自同構(gòu).由于無(wú)限循環(huán)群有兩個(gè)生成元,n階循環(huán)群有7/25/202115:20群和階群.推論2無(wú)限循環(huán)群的自同構(gòu)群與三階循環(huán)群的自同構(gòu)群同構(gòu).定理3設(shè)G是一個(gè)群,則1)是G的一個(gè)自同構(gòu),稱為G的一個(gè)內(nèi)自同構(gòu);2)G的全體內(nèi)自同構(gòu)作成一個(gè)群,稱為群G的內(nèi)自同構(gòu)群,記為InnG;7/25/202115:203)7/25/202115:207/25/202115:20定義1對(duì)群G的所有自同構(gòu)都不變的子群,
3、亦即對(duì)G的任何自同構(gòu)都有的子群N,叫做G的一個(gè)特征子群.特征子群一定是正規(guī)子群反之不成立.定義2設(shè)H是群G的一個(gè)子群.如果H對(duì)G的每個(gè)自同態(tài)映射都不變,即對(duì)G的每個(gè)自同態(tài)映射都有7/25/202115:20則稱H為群G的一個(gè)全特征子群.全特征子群一定是特征子群.例2群G的中心C是G的一個(gè)特征子群.7/25/202115:20例3有理數(shù)域Q上的2階線性群G=Gl2(Q)的中心(Q上的所有2階純量矩陣)不是全特征子群.7/25/202115:207/25/202115:20例4證明:循環(huán)群G=的子群都是全特征子群.全特征子群、特征子群和正規(guī)子群間的
4、關(guān)系是定理4設(shè)C是群G的中心,則證:易知7/25/202115:207/25/202115:20小結(jié)1.群的自同構(gòu)群的概念，循環(huán)群的自同構(gòu)群。2.內(nèi)自同構(gòu)群，特征子群，全特征子群。作業(yè)：5.67/25/202115:20
