傅葉爾轉(zhuǎn)換(fourier transform)傅葉爾轉(zhuǎn)換（傅里葉變換）

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1、傅葉爾轉(zhuǎn)換(FourierTransform)李家同暨南國(guó)際大學(xué)資訊工程系rctlee@ncnu.edu.tw在通訊理論中,傅葉爾轉(zhuǎn)換(FourierTransform)扮演了極重要的角色,我們幾乎可以說(shuō)沒(méi)有傅葉爾轉(zhuǎn)換,就不可能有我們現(xiàn)在的通訊。傅葉爾轉(zhuǎn)換究竟是什麼?如果我們用非常正式的數(shù)學(xué)方式來(lái)解釋它,大家就看不懂了,因此我在這裡設(shè)法用非正式的方式來(lái)解釋。首先,請(qǐng)看圖一,圖一所表示的是一個(gè)cosine函數(shù),各位可以看出來(lái),在圖一.頻率為3的cosine函數(shù)一秒內(nèi),這個(gè)函數(shù)變換了3次,所以我們說(shuō)這是一個(gè)頻率為3的cosine函數(shù)。9請(qǐng)各位再看圖二,這個(gè)訊號(hào)既不是cosine,也不是sine

2、,它究竟是什麼呢?圖二.一個(gè)訊號(hào)如果我們用傅葉爾轉(zhuǎn)換來(lái)分析這個(gè)訊號(hào),你就可以得到圖三。圖三.上圖訊號(hào)的傅葉爾轉(zhuǎn)換頻譜9圖三什麼意義呢?我們可以發(fā)現(xiàn)圖三是左右對(duì)稱(chēng)的,而圖三所給的資訊只要看左邊的部份就可以。在左邊,我們可以看到兩個(gè)尖端,一個(gè)在頻率f=7的地方,一個(gè)在頻率f=15的地方,換句話說(shuō),圖二的這個(gè)訊號(hào)其實(shí)是兩個(gè)訊號(hào)的和:大概說(shuō)起來(lái),傅葉爾轉(zhuǎn)換的理論是說(shuō),任何一個(gè)訊號(hào),都是一大堆cosine函數(shù)的和。為了避免太抽象的數(shù)字理論,我在這篇文章介紹的是離散傅葉爾轉(zhuǎn)換(DiscreateFourierTransform)。假設(shè)我們的訊號(hào)是,我們?cè)谝幻腌妰?nèi),對(duì)取樣n次,我們就可以得到,其中我們?cè)?/p>

3、將送進(jìn)離散傅葉爾轉(zhuǎn)換,如圖四所示:圖四.離散傅葉爾轉(zhuǎn)換代表什麼呢?以下的式子就說(shuō)明一切:fort=0,1,2,…,n-1(1)很可能是一個(gè)複數(shù),如2+3j,是一個(gè)變數(shù),如果,。9式(1)中的代表頻率,式(1)表示由n/2個(gè)cosine函數(shù)所組成,這些函數(shù)的頻率為,,每一個(gè)函數(shù)的大小是,大,代表這個(gè)頻率為的cosine函數(shù)份量很大,小,表這個(gè)頻率為的cosine函數(shù)微不足道。因此,我們可以說(shuō),傅葉爾轉(zhuǎn)換,是一種分析的工具,我們可以利用傅葉爾轉(zhuǎn)換來(lái)看任何一個(gè)訊號(hào)內(nèi)究竟有什麼樣的訊號(hào)?，F(xiàn)在請(qǐng)看圖五,圖五一秒鐘的音樂(lè)訊號(hào)圖五的訊號(hào)是一秒鐘的音樂(lè)訊號(hào),對(duì)於我們來(lái)說(shuō),這當(dāng)然是一頭霧水,不知道這個(gè)訊號(hào)葫

4、蘆裡賣(mài)什麼藥,圖六是圖五訊號(hào)的離散傅葉爾轉(zhuǎn)換頻譜。9圖六一秒鐘的音樂(lè)訊號(hào)的離散傅葉爾轉(zhuǎn)換頻譜讀者可以看到真正重要的頻率集中在3000Hertz之前,我們幾乎可以說(shuō),3000Hertz以後的訊號(hào)是不太重要的。我也要強(qiáng)調(diào)離散傅葉爾轉(zhuǎn)換有一個(gè)對(duì)稱(chēng)性,各位讀者只需要看8192hertz以前的頻率就能夠了,大於8192Hertz的頻率一概是多餘的。我們並不能說(shuō)公式(1)是對(duì)所有的t都是對(duì)的,只能說(shuō)對(duì)於是有效的,如果將代入公式(1)就不一定對(duì)了。如果我們的n取樣非常大,我們幾乎可以說(shuō)公式(1)對(duì)於相當(dāng)多的t值,都是對(duì)的。傅葉爾轉(zhuǎn)換的一個(gè)特色是所謂的反轉(zhuǎn)傅葉爾轉(zhuǎn)換(InverseFourierTrans

5、form),離散傅葉爾轉(zhuǎn)換也有反轉(zhuǎn)離散傅葉爾轉(zhuǎn)換(InverseDiscreteFourierTransform)。圖七顯示反轉(zhuǎn)離散傅葉爾轉(zhuǎn)換的功能,9圖七.反轉(zhuǎn)離散傅葉爾轉(zhuǎn)換從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看,反轉(zhuǎn)離散傅葉爾轉(zhuǎn)換幾乎完全像離散傅葉爾轉(zhuǎn)換。離散傅葉爾轉(zhuǎn)換將一個(gè)與時(shí)間的訊號(hào)轉(zhuǎn)換到頻率的領(lǐng)域,讓我們知道這個(gè)訊號(hào)各個(gè)頻率的訊號(hào)有多強(qiáng)。反轉(zhuǎn)傅葉爾轉(zhuǎn)換則將各個(gè)頻率的大小轉(zhuǎn)換成原來(lái)的訊號(hào)。圖八就是圖六的反轉(zhuǎn),也就是說(shuō),當(dāng)我們將圖六的頻率輸入到反轉(zhuǎn)離散傅業(yè)爾轉(zhuǎn)換,我們就會(huì)得到原來(lái)的訓(xùn)號(hào)。如果我們只顧到圖六中訊號(hào)強(qiáng)的頻率,情形如何呢?圖八.反轉(zhuǎn)離散傅葉爾轉(zhuǎn)換的結(jié)果9圖九就是一個(gè)例子,我們將圖六中大小小於10

6、的頻率去掉,再利用反轉(zhuǎn)離散傅葉爾轉(zhuǎn)換,就可以得到圖九,讀者可以看出圖九幾乎和圖五一模一樣。圖九.去掉小於10的反轉(zhuǎn)離散傅葉爾轉(zhuǎn)換的結(jié)果現(xiàn)在我們?cè)倏紤]一個(gè)問(wèn)題,經(jīng)由傅葉爾轉(zhuǎn)換以後,我們可以知道我們?nèi)寺曇舻念l率大概低於3000Hertz,我們又知道一個(gè)訊號(hào)的波長(zhǎng)可用以下的公式求得:(2)公式(2)中的是光速,等於m/sec,就是頻率,以=3000Hertz為例,如果要直接廣播人的聲音,天線的長(zhǎng)度需要=50km之長(zhǎng),這是不可能的。9我們必須提高訊號(hào)的頻率,如何做呢?一個(gè)最簡(jiǎn)單的是將訊號(hào)乘入,其中是一個(gè)較高的頻率,這就是所謂的調(diào)幅,令代表原來(lái)的訊號(hào),調(diào)頻以後的訊號(hào)變成了(3)一旦調(diào)幅以後,所有原來(lái)

7、頻率為的訊號(hào),現(xiàn)在都變成了兩種訊號(hào),一個(gè)頻率是,另一個(gè)頻率是。因?yàn)楹芨?所以中各個(gè)訊號(hào)都提高到了的程度,這種訊號(hào)就可以很容易輸送出去了。為什麼頻率為的訊號(hào)現(xiàn)在變成了和?這是很容易解釋的,傅葉爾轉(zhuǎn)換告訴我們,任何一個(gè)訊號(hào)都是由一大堆cosine訊號(hào)所組成的。假設(shè)有一個(gè)訊號(hào)的頻率是,這個(gè)訊號(hào)就是。經(jīng)過(guò)調(diào)幅以後,這個(gè)訊號(hào)變成了但是以上的式子又可以用以下的式子來(lái)表示所以我們看出原來(lái)的頻率由變成了和?，F(xiàn)在我要再談一個(gè)有關(guān)寬頻傳輸線