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《數(shù)列通項(xiàng)公式求法》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座(44)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉各種數(shù)列問(wèn)題在很多情形下,就是對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問(wèn)題中,數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問(wèn)題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法,希望能對(duì)大家有幫助。一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法,這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類(lèi)型的題目.例1.等差數(shù)列是遞增數(shù)列,前n項(xiàng)和為,且成等比數(shù)列,.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:設(shè)數(shù)列公差為∵成等比數(shù)列,∴,即∵,∴………………………………①∵∴…………②由①②得:,∴點(diǎn)評(píng):利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義,設(shè)法求出
2、首項(xiàng)與公差(公比)后再寫(xiě)出通項(xiàng)。二、公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系,求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:由當(dāng)時(shí),有……,嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座經(jīng)驗(yàn)證也滿(mǎn)足上式,所以點(diǎn)評(píng):利用公式求解時(shí),要注意對(duì)n分類(lèi)討論,但若能合寫(xiě)時(shí)一定要合并.三、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解,通??梢酝ㄟ^(guò)遞推公式的變換,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題,有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類(lèi)型1遞推公式為解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累加法(逐差相加法)求解。(2004全國(guó)卷I.22)已知
3、數(shù)列中,,其中……,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。P24(styyj)例3.已知數(shù)列滿(mǎn)足,,求。解:由條件知:分別令,代入上式得個(gè)等式累加之,即所以嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座,類(lèi)型2(1)遞推公式為解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累乘法(逐商相乘法)求解。(2004全國(guó)卷I.15)已知數(shù)列{an},滿(mǎn)足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),則{an}的通項(xiàng)P24(styyj)例4.已知數(shù)列滿(mǎn)足,,求。解:由條件知,分別令,代入上式得個(gè)等式累乘之,即又,(2).由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)可如下求得:由已知遞推
4、式有,,,依次向前代入,得,簡(jiǎn)記為,這就是疊(迭)代法的基本模式。嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座(3)遞推式:解法:只需構(gòu)造數(shù)列,消去帶來(lái)的差異.例5.設(shè)數(shù)列:,求.解:設(shè),將代入遞推式,得…(1)則,又,故代入(1)得說(shuō)明:(1)若為的二次式,則可設(shè);(2)本題也可由,()兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座例6.已知,,求。解:。類(lèi)型3遞推公式為(其中p,q均為常數(shù),)。解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:,其中,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。(2006.重慶.14)在數(shù)列
5、中,若,則該數(shù)列的通項(xiàng)P24(styyj)例7.已知數(shù)列中,,,求.解:設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令,則,且.所以是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則,所以.類(lèi)型4遞推公式為(其中p,q均為常數(shù),)。(或,其中p,q,r均為常數(shù))嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座(2006全國(guó)I.22)(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和,(Ⅰ)求首項(xiàng)與通項(xiàng);P25(styyj)解法:該類(lèi)型較類(lèi)型3要復(fù)雜一些。一般地,要先在原遞推公式兩邊同除以,得:引入輔助數(shù)列(其中),得:再應(yīng)用類(lèi)型3的方法解決。例8.已知數(shù)列中,,,求。解:在兩邊乘以
6、得:令,則,應(yīng)用例7解法得:所以類(lèi)型5遞推公式為(其中p,q均為常數(shù))。解法:先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s,t滿(mǎn)足,再應(yīng)用前面類(lèi)型3的方法求解。(2006.福建.理.22)(本小題滿(mǎn)分14分)已知數(shù)列滿(mǎn)足(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;P26(styyj)例9.已知數(shù)列中,,,,求。嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座解:由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用(當(dāng)然也可選用,大家可以試一試),則是以首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類(lèi)型1的方法,分別令,代入上式得個(gè)等式累加之,即又,所以。類(lèi)型6遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法:利用進(jìn)行求解。(2006.
7、陜西.20)(本小題滿(mǎn)分12分)已知正項(xiàng)數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)anP24(styyj)例10.已知數(shù)列前n項(xiàng)和.(1)求與的關(guān)系;(2)求通項(xiàng)公式.解:(1)由得:嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座于是所以.(2)應(yīng)用類(lèi)型4的方法,上式兩邊同乘以得:由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以類(lèi)型7雙數(shù)列型解法:根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系,靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例11.已知數(shù)