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《數(shù)列通項(xiàng)公式求法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座(44)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉各種數(shù)列問(wèn)題在很多情形下，就是對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問(wèn)題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，希望能對(duì)大家有幫助。一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類(lèi)型的題目．例1．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：設(shè)數(shù)列公差為∵成等比數(shù)列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由①②得：，∴點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出
2、首項(xiàng)與公差（公比）后再寫(xiě)出通項(xiàng)。二、公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由當(dāng)時(shí)，有……，嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座經(jīng)驗(yàn)證也滿(mǎn)足上式，所以點(diǎn)評(píng)：利用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n分類(lèi)討論，但若能合寫(xiě)時(shí)一定要合并．三、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類(lèi)型1遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。(2004全國(guó)卷I.22)已知
3、數(shù)列中,,其中……，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。P24（styyj）例3.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座，類(lèi)型2（1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。(2004全國(guó)卷I.15)已知數(shù)列{an}，滿(mǎn)足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)P24（styyj）例4.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，（2）．由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)可如下求得：由已知遞推
4、式有，，，依次向前代入，得，簡(jiǎn)記為，這就是疊（迭）代法的基本模式。嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座（3）遞推式：解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來(lái)的差異．例5．設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得說(shuō)明：（1）若為的二次式，則可設(shè);(2)本題也可由,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座例6．已知，，求。解：。類(lèi)型3遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。(2006.重慶.14）在數(shù)列
5、中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)P24（styyj）例7.已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.類(lèi)型4遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座（2006全國(guó)I.22）（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；P25（styyj）解法：該類(lèi)型較類(lèi)型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類(lèi)型3的方法解決。例8.已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以
6、得：令，則,應(yīng)用例7解法得：所以類(lèi)型5遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿(mǎn)足，再應(yīng)用前面類(lèi)型3的方法求解。（2006.福建.理.22）（本小題滿(mǎn)分14分）已知數(shù)列滿(mǎn)足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；P26（styyj）例9.已知數(shù)列中，,,，求。嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類(lèi)型1的方法，分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即又，所以。類(lèi)型6遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：利用進(jìn)行求解。(2006.
7、陜西.20)(本小題滿(mǎn)分12分)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)anP24（styyj）例10.已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.解：（1）由得：嵩明縣第一中學(xué)吳學(xué)偉13577103702第20頁(yè)共20頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座于是所以.（2）應(yīng)用類(lèi)型4的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以類(lèi)型7雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例11.已知數(shù)
