數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

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1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法一．觀察法例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：9，99，999，9999，…變式1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式:1,3,7,15,…變式2：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式:7,77,777,7777,…二、公式法（利用等差等比數(shù)列相關(guān)公式）例2：設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，，求，的通項(xiàng)公式。變式：實(shí)數(shù)列等比數(shù)列,成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)。三、Sn法（）例3:各項(xiàng)全不為零的數(shù)列{ak}的前k項(xiàng)和為Sk,且Sk＝N*),其中a1=1.Z求數(shù)列ak。變式1：設(shè)數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)變式

2、2:已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，．求的通項(xiàng)公式。四、累加法例4：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式變式1：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。變式2:已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、累乘法例5：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。變式：已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式六、倒數(shù)法（,兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為）例6：在數(shù)列中，已知求數(shù)列的通項(xiàng)式。此類題型也可用求“特征根法”加以求解。變式1:在數(shù)列中滿足且當(dāng)時(shí),有,求變式2:已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；②求數(shù)列的通項(xiàng)公式。七、換元法例7．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。八、迭代

3、法例8．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。九、對(duì)數(shù)變換法例9.已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。十、利用遞推關(guān)系10．1遞推關(guān)系其中為常數(shù)這類遞推數(shù)列可通過(guò)累加法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列{f(n)}可求前n項(xiàng)和).　　當(dāng)為常數(shù)時(shí)，通過(guò)累加法可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．而當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，則的通項(xiàng)公式應(yīng)當(dāng)為形式，注意與等差數(shù)列求和公式一般形式的區(qū)別，后者是，其常數(shù)項(xiàng)一定為０．例10：數(shù)列中，，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列．求的通項(xiàng)公式．變式1:已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。變式2:已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。10．2遞推關(guān)系其中為常數(shù)由遞

4、推式得，諸式相乘，得，即為累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式。例11：已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。變式：數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。10．3遞推關(guān)系其中為常數(shù)且令，整理得，所以，即，從而，所以數(shù)列是等比數(shù)列或消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為二階遞推式.例12已知數(shù)列中，，，求的通項(xiàng)公式。例13．已知數(shù)列中，,求的通項(xiàng)公式．變式：數(shù)列中，設(shè)且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。10．4遞推關(guān)系其中為常數(shù)且，為非常數(shù)由遞推式兩邊同除以，得，對(duì)此采用10.1中所述的累加法可求。例14：在數(shù)列中，，其中．求。10．4；這類數(shù)列可變換成，令，則轉(zhuǎn)化為累加法求通項(xiàng)公式例15.設(shè)數(shù)列求數(shù)列

5、的通項(xiàng)公式．10.5遞推關(guān)系其中為常數(shù)10．5．1若時(shí)，，即，知為等比數(shù)列，對(duì)此采用3.1中所述的累加法可求。例16：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。變式：已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式10．5．2若時(shí)，存在滿足，整理得，有，從而是等比數(shù)列，對(duì)此采用10.4中所述的方法即可。10.6這類數(shù)列可取對(duì)數(shù)得，從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列型遞推數(shù)列.或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或一些特殊數(shù)列的二階遞推數(shù)列　例17.設(shè)數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式．變式.在數(shù)列求．例18.已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式．