數(shù)列通項(xiàng)公式的 求法

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1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法集錦非等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎結(jié)合近幾年的高考情況，對(duì)數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法給以歸納總結(jié)。一、累加法形如(n=2、3、4…...)且可求，則用累加法求。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例1.在數(shù)列{}中，=1，(n=2、3、4……)，求{}的通項(xiàng)公式。解：∵這n-1個(gè)等式累加得：=故且也滿足該式∴().例2．在數(shù)列{}中，=1，(),求。解：n=1時(shí),=1以上n-1個(gè)等式累加得==，故且也滿足該式∴()。二、累乘法形如(n=2、3、4……)，

2、且可求，則用累乘法求。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例3．在數(shù)列{}中，=1，，求。解：由已知得，分別取n=1、2、3……(n-1),代入該式得n-1個(gè)等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以時(shí)，故且=1也適用該式∴().例4．已知數(shù)列{}滿足=，，求。解：由已知得，分別令n=1，2，3，….(n-1),代入上式得n-1個(gè)等式累乘，即=所以，又因?yàn)橐矟M足該式，所以。三、構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)列，使之

3、等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或=其中b、c為不相等的常數(shù)，為一次式。例5、（06福建理22）已知數(shù)列{}滿足=1，=()，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，其中p為常數(shù)，使之成為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列即=整理得：=使之滿足=∴p=1即是首項(xiàng)為=2，q=2的等比數(shù)列∴==例6、（07全國理21）設(shè)數(shù)列{}的首項(xiàng)，=，n=2、3、4……（）求{}的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列即=整理得：=滿足=得=∴p=-1即新數(shù)列首項(xiàng)為，的等比數(shù)列∴=故=+1例7、（07全國理22）已知數(shù)

4、列{}中，=2，=（）求{}的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列=整理得：=+使之滿足已知條件=+2∴解得∴是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，由此得=∴=例8、已知數(shù)列{}中，=1，=，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個(gè)數(shù)列，該數(shù)列中含是變量，而不是常量了。故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列，其中為常數(shù)，使之為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列。解：構(gòu)造數(shù)列，為不為0的常數(shù)，使之成為q=2的等比數(shù)列即=整理得：=滿足=得∴新數(shù)列是首項(xiàng)為=，q=2的等比數(shù)列∴=∴=例9、（07天津文20）在數(shù)列{}中，=2，=，求數(shù)列的通項(xiàng)。解：構(gòu)

5、造新數(shù)列，使之成為q=4的等比數(shù)列，則=整理得：=滿足=，即得∴新數(shù)列的首項(xiàng)為，q=4的等比數(shù)列∴∴四、構(gòu)造等差數(shù)列法數(shù)列{}既不等差，也不等比，遞推關(guān)系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，從而間接求出。例10．（07石家莊一模）數(shù)列{}滿足且。求、、是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列？若存在求出的值及；若不存在，說明理由。解：由==81得=33；又∵==33得=13；又∵==13，∴=5假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列即===該數(shù)為常數(shù)∴=即為首項(xiàng)，d=1的等差數(shù)列∴=2+=n+1∴=

6、例11、數(shù)列{}滿足=()，首項(xiàng)為，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：=兩邊同除以得=+1∴數(shù)列是首項(xiàng)為=1，d=1的等差數(shù)列∴=1+故=例12．?dāng)?shù)列{}中，=5，且（n=2、3、4……），試求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列，為常數(shù)，使之成為等差數(shù)列，即整理得+3l，讓該式滿足∴取，得，d=1，即是首項(xiàng)為，公差d=1的等差數(shù)列。故∴=例13、（07天津理21）在數(shù)列{}中，=2，且（）其中＞0，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：的底數(shù)與的系數(shù)相同，則兩邊除以得即∴是首項(xiàng)為，公差d=1的等差數(shù)列?！唷?。五、取倒數(shù)法有

7、些關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出。例14、已知數(shù)列{}，=，，求=？解：把原式變形得兩邊同除以得∴是首項(xiàng)為，d=的等差數(shù)列故∴。例15、（06江西理22）已知數(shù)列{}滿足，且（）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：把原式變形成兩邊同除以得即……⑴構(gòu)造新數(shù)列，使其成為公比q=的等比數(shù)列即整理得：滿足⑴式使∴∴數(shù)列是首項(xiàng)為，q=的等比數(shù)列∴∴。例16．（06江西文22）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足：，且求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。解：把

8、原式變形為兩邊同除以得移項(xiàng)得：所以新數(shù)列是首項(xiàng)為q=2的等比數(shù)列。故解關(guān)于的方程得。六．利用公式求通項(xiàng)有些數(shù)列給出{}的前n項(xiàng)和與的關(guān)系式=，利用該式寫出，兩式做差，再利用導(dǎo)出與的遞推式，從而求出。例17.(07重慶21題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為滿足＞1且6=n∈求{}的通項(xiàng)公式。解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得=0∵＞0∴從而{}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，故{}的通項(xiàng)為