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《數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:1、觀(guān)察法觀(guān)察法就是觀(guān)察數(shù)列特征,橫向看各項(xiàng)之間的結(jié)構(gòu),縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系。適用于一些較簡(jiǎn)單、特殊的數(shù)列。例1寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(1)-1,4,-9,16,-25,36,……;解:(如果數(shù)列是正負(fù)相間的,把相應(yīng)的關(guān)于的式子乘以或就可以了)(2)2,3,5,9,17,33,……;解:1、累加法若數(shù)列,滿(mǎn)足其中是可求和數(shù)列,那么可用逐項(xiàng)作差后累加的方法求,適用于差為特殊數(shù)列的數(shù)列。例1已知數(shù)列,滿(mǎn)足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:由得則所以數(shù)
2、列的通項(xiàng)公式2、累乘法若數(shù)列,滿(mǎn)足其中數(shù)列前n項(xiàng)積可求,則通項(xiàng)可用逐項(xiàng)作商后求積得到。適用于積為特殊數(shù)列的數(shù)列。例2、已知,,求通項(xiàng)公式解:,,,……即3、利用數(shù)列前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式:數(shù)列前項(xiàng)和與之間有如下關(guān)系:例4、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和(1)、求;(2)、求證數(shù)列為等比數(shù)列。解(1)、由,得例3已知數(shù)列的前項(xiàng)和求證:為等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式。4、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法對(duì)于一些遞推關(guān)系較復(fù)雜的數(shù)列,可通過(guò)對(duì)遞推關(guān)系公式的變形、整理,從中構(gòu)造出一個(gè)新的等比或等差數(shù)列,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為前面已解決的幾種情形來(lái)處理。(1)
3、構(gòu)造等差列法例5、已知數(shù)列中,,(1)、求證是等差數(shù)列(2)、求的通項(xiàng)公式解:首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列變式題:已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1+3an+1an-an=0,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(1)若c=1時(shí),數(shù)列{an}為等差數(shù)列;(2)若d=0時(shí),數(shù)列{an}為等比數(shù)列;(3)若c≠1且d≠0時(shí),數(shù)列{an}為線(xiàn)性遞推數(shù)列,其通項(xiàng)可通過(guò)構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái)求.方法1:待定系數(shù)法設(shè)an+1+m=c(an+m),得an+1=can+(c-1)m,與題設(shè)an+1=can+d,比較系數(shù)得:(c-1)m=
4、d,所以有:m=d/(c-1)因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng),以c為公比的等比數(shù)列,這種方法類(lèi)似于換元法,主要用于形如an+1=can+d(c≠0,a1=a)的已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。(構(gòu)造法或待定系數(shù)法)6.輔助數(shù)列法方法四:歸納、猜想、證明.先計(jì)算出a1,a2,a3;再猜想出通項(xiàng)an;最后用數(shù)學(xué)歸納法證明.方法三:迭代法由遞推式直接迭代得例6:已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=2an+3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式解法1:由an+1=2an+3得an+1+3=2(an+3)所以{an+3}是以a1+3為首項(xiàng),以2
5、為公比的等比數(shù)列,所以:an+3=(a1+3)×2n-1故an=6×2n-1-3解法2:因?yàn)閍n+1=2an+3,所以n>1時(shí),an=2an-1+3,兩式相減,得:an+1-an=2(an-an-1).故{an-an-1}是以a2-a1=6為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.an-an-1=(a2-a1)·2n-1=6×2n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=6(2n-1-1)+3=3(2n-1-1)例7.已知求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.7.逐差法形如an+1+an=
6、f(n)的數(shù)列.(1)若an+1+an=d(d為常數(shù)),則數(shù)列{an}為“等和數(shù)列”,它是一個(gè)周期數(shù)列,周期為2,其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)討論;(2)若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時(shí),可通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)型,通過(guò)累加來(lái)求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)轉(zhuǎn)化為an+1-an-1=f(n)-f(n-1),分奇偶項(xiàng)來(lái)分求通項(xiàng).例8.數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=0,an+1+an=2n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式..課時(shí)小結(jié)這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,大家需要注意以下幾點(diǎn):1、若數(shù)列滿(mǎn)足可
7、用累加法來(lái)求通項(xiàng)公式;若數(shù)列滿(mǎn)足可用累乘法來(lái)求通項(xiàng)公式;若數(shù)列滿(mǎn)足可用構(gòu)造等差數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)公式;若數(shù)列滿(mǎn)足,可用構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)公式;若數(shù)列已知前項(xiàng)和的關(guān)系可用課后作業(yè)