數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1

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1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：1、觀(guān)察法觀(guān)察法就是觀(guān)察數(shù)列特征，橫向看各項(xiàng)之間的結(jié)構(gòu)，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系。適用于一些較簡(jiǎn)單、特殊的數(shù)列。例1寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（1）-1，4，-9，16，-25，36，……；解：（如果數(shù)列是正負(fù)相間的，把相應(yīng)的關(guān)于的式子乘以或就可以了）（2）2，3，5，9，17，33，……；解：1、累加法若數(shù)列,滿(mǎn)足其中是可求和數(shù)列，那么可用逐項(xiàng)作差后累加的方法求，適用于差為特殊數(shù)列的數(shù)列。例1已知數(shù)列,滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)

2、列的通項(xiàng)公式2、累乘法若數(shù)列,滿(mǎn)足其中數(shù)列前n項(xiàng)積可求，則通項(xiàng)可用逐項(xiàng)作商后求積得到。適用于積為特殊數(shù)列的數(shù)列。例2、已知，,求通項(xiàng)公式解：，，，……即3、利用數(shù)列前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式：數(shù)列前項(xiàng)和與之間有如下關(guān)系：例4、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和（1）、求；（2）、求證數(shù)列為等比數(shù)列。解(1)、由，得例3已知數(shù)列的前項(xiàng)和求證：為等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式。4、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法對(duì)于一些遞推關(guān)系較復(fù)雜的數(shù)列，可通過(guò)對(duì)遞推關(guān)系公式的變形、整理，從中構(gòu)造出一個(gè)新的等比或等差數(shù)列，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為前面已解決的幾種情形來(lái)處理。（1）

3、構(gòu)造等差列法例5、已知數(shù)列中，，（1）、求證是等差數(shù)列（2）、求的通項(xiàng)公式解：首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列變式題：已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1+3an+1an-an=0,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.（1）若c=1時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列;（2）若d=0時(shí)，數(shù)列{an}為等比數(shù)列;（3）若c≠1且d≠0時(shí)，數(shù)列{an}為線(xiàn)性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái)求.方法1：待定系數(shù)法設(shè)an+1+m=c(an+m),得an+1=can+(c-1)m,與題設(shè)an+1=can+d,比較系數(shù)得:(c-1)m=

4、d,所以有：m=d/(c-1)因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，這種方法類(lèi)似于換元法,主要用于形如an+1=can+d(c≠0,a1=a)的已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。（構(gòu)造法或待定系數(shù)法）6.輔助數(shù)列法方法四：歸納、猜想、證明.先計(jì)算出a1,a2,a3;再猜想出通項(xiàng)an;最后用數(shù)學(xué)歸納法證明.方法三：迭代法由遞推式直接迭代得例6:已知數(shù)列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式解法1：由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）所以{an+3}是以a1+3為首項(xiàng)，以2

5、為公比的等比數(shù)列，所以:an+3=（a1+3）×2n-1故an=6×2n-1-3解法2：因?yàn)閍n+1=2an+3，所以n>1時(shí)，an=2an-1+3，兩式相減，得：an+1-an=2(an-an-1).故{an-an-1}是以a2-a1=6為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.an-an-1=(a2-a1)·2n-1=6×2n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=6(2n-1-1)+3=3(2n-1-1)例7.已知求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.7.逐差法形如an+1+an=

6、f(n)的數(shù)列.（1）若an+1+an=d（d為常數(shù)），則數(shù)列{an}為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)型，通過(guò)累加來(lái)求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)轉(zhuǎn)化為an+1-an-1=f(n)-f(n-1),分奇偶項(xiàng)來(lái)分求通項(xiàng).例8.數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=0,an+1+an=2n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式..課時(shí)小結(jié)這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，大家需要注意以下幾點(diǎn):1、若數(shù)列滿(mǎn)足可

7、用累加法來(lái)求通項(xiàng)公式；若數(shù)列滿(mǎn)足可用累乘法來(lái)求通項(xiàng)公式;若數(shù)列滿(mǎn)足可用構(gòu)造等差數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)公式；若數(shù)列滿(mǎn)足，可用構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)公式；若數(shù)列已知前項(xiàng)和的關(guān)系可用課后作業(yè)