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《數(shù)列通項(xiàng)公式的求法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、等差數(shù)列與差比數(shù)列的通項(xiàng)公式類(lèi)型一：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)：公式練習(xí)：類(lèi)型二：類(lèi)等差（比）數(shù)列,方法：累加(乘)一、若數(shù)列有形如an＋1＝an＋f(n)的解析式，而f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可求的，則可用多式累(迭)加法求得an.(2011年廈門(mén)質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝______.解析：由條件an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，即an＋1－an＝2n－1，得a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5，…，an－1－an－2＝2n－5，
2、an－an－1＝2n－3，以上n－1個(gè)式子相加并化簡(jiǎn)，得an＝a1＋(n－1)2＝n2－2n＋21.答案：n2－2n＋21變式探究1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，求an.解析：當(dāng)n≥2時(shí)，a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1.將這n－1個(gè)式子累加起來(lái)可得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1，∴an＝a1＋2＋22＋…＋2n－1＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1適合上式，故an＝2n－1.二、若數(shù)列有形如an＝f(n)·an－1的解析關(guān)系，而f(1
3、)·f(2)…f(n)的積是可求的，則可用多式累(迭)乘法求得an.設(shè){an}的首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且－n＋an＋1an＝0，求它的通項(xiàng)公式．解析：由題意a1＝1,an>0，(n＝1,2,3，…)，方法二:練習(xí)①②由②－①整理得再用累乘法也可以練習(xí)類(lèi)型五：待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)：則可考慮待定系數(shù)法設(shè)構(gòu)造新的輔助數(shù)列是首項(xiàng)為公比為q的等比數(shù)列，求出,再進(jìn)一步求通項(xiàng)若數(shù)列有形如an＝pan－1＋q(n≥2，p，q為常數(shù)，pq≠0，p≠1)的線性遞推關(guān)系，則可用待定系數(shù)法求得an.具體思路：設(shè)遞推式可化為an＋1＋A＝p(an＋A)，得a
4、n＋1＝pan＋(p－1)A，與已知遞推式比較，解得A＝，故可將遞推式化為an＋＝p（an-1+），構(gòu)造數(shù)列{bn}，其中bn＝an＋，則bn＋1＝pbn，即＝p，所以{bn}為等比數(shù)列．故可求出bn＝f(n)，再將bn＝an＋代入即可得an.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.解析：解法一：∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，又a1－3＝－2，點(diǎn)評(píng)：(1)注意數(shù)列解題中的換元思想的運(yùn)用，如bn＝an－3.(2)對(duì)數(shù)列遞推式an＋1＝pan＋q，我們通常將其化為＝p，設(shè)bn＝an－A，構(gòu)造數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．，練習(xí)四
5、、遞推式如an＝pan－1＋rqn(n≥2，pqr≠0，p，q，r為常數(shù))型的通項(xiàng)的求法具體思路：1.等式兩邊同除以qn，已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＝4an－1＋2n(n≥2，n∈N*)，且a1＝2.求an.解析：解法一：∵an＝4an－1＋2n,解法二：∵an＝4an－1＋2n，∴令an＋λ·2n＝4(an－1＋λ·2n－1)，(n≥2)，得an＝4an－1＋λ·2n，與已知遞推式比較得λ＝1，∴an＋2n＝4，又a1＋22－1＝4，∴{an＋2n}是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列．a(chǎn)n＋2n＝4·4n－1，∴an＝4n－2n＝22n
6、－2n.練習(xí)變式探究5．(2011年鹽城模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解析：由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，λ>0，得an＋1＝λan＋λn＋1＋2n＋1－λ·2n，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n－1)λn＋2n.方法二：①②累加由①－②得五、遞推式如an＝pan－1＋qn＋r(n≥2，pq≠0，p，q為常數(shù))型數(shù)列的通項(xiàng)求法具體思路：等價(jià)轉(zhuǎn)化為an＋xn＋y＝p(an－1＋x(n－1)＋y)，再化為a
7、n＝pan－1＋(p－1)xn＋(p－1)y，比較對(duì)應(yīng)系數(shù)，解出x，y，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為例3的數(shù)列．(2011年濟(jì)寧模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝，點(diǎn)(n,2an＋1－an)在直線y＝x上，其中n＝1,2,3，….求數(shù)列{an}的通項(xiàng)．解析：∵點(diǎn)(n,2an＋1－an)在直線y＝x上，∴2an＋1－an＝n.①令an＋1＋x(n＋1)＋y＝(an＋nx＋y)，可化為2an＋1－an＋xn＋2x＋y＝0與①比較系數(shù)得x＝－1，y＝2.∴①可化為an＋1－(n＋1)＋2＝(an－n＋2)，變式探究6．(2010年豐臺(tái)區(qū)模擬)在數(shù)列{an}中
8、，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)設(shè)bn＝an－n，求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)由題設(shè)an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.∵bn＝an－
