第六章廣義積分及定積分應(yīng)用

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1、第六章廣義積分與定積分的應(yīng)用I、廣義積分一、內(nèi)容提要(一)廣義積分的收斂定義1、無窮積分(積分限為無窮的廣義積分)定義設(shè)對任意A(A>a),函數(shù)/(兀)在［a.A］上可積，如果極限lim存在，則稱此極限值為/(兀)在［d,+oo］上的無窮積分，記r十8fa［f(x)dx=lim［f(x)dxJaA—>+8」a此時(shí)稱無窮積分收斂，否則稱無窮積分發(fā)散。同樣可定義無窮積分：If(x)dx=limIf{x)dxJ—83t-ooJBrCpAIf(x)dx=limI/(x)dr+lim［f(x)dxJ—°°>—ooJBAt+bJc2

2、、瑕積分(無界函數(shù)的廣義積分)定義對任意￡(0v￡vb-a),函數(shù)/(無)在區(qū)間［a,b-E］上可積，且在(b_￡,b)上無界(b為瑕點(diǎn))。如果極限lim［f(x)dx￡T(rJa存在。則稱此極限值為/(無)在［a,b］上的瑕積分，記作rbpb_￡［f(x)cbc=limIf(x)dx此時(shí)稱瑕積分收斂，否則稱瑕積分發(fā)散。同樣可以定義瑕積分：jQdx，(a為唯一瑕點(diǎn),xta十時(shí),/(x)T8)f{x)dx+lim[f(x)dx〃T0卜Jc?十〃(c為區(qū)間內(nèi)唯一瑕點(diǎn)，X—C時(shí)，f(X)—°°)3、絕對收斂與條件收斂r+8『

3、b(1)絕對收斂：若廣義積分

4、f(x)dx(或If(x)Idx)收斂，則JaJa稱/(無)在［Q,+oo)(或［d,b］)上絕對收斂(絕對收斂的廣義積分,+8則/（兀）木身的廣義積分收斂）。(2)條件收斂：若

5、f(x)dxIf{x)dx)收斂，但

6、

7、/(兀)/JaJaJarh（或

8、/（x）

9、dx）發(fā)散，則稱/（兀）在［d,+x）（或［a.b］）上條件收斂°（二）收斂判別法1、比較判別法（對被積函數(shù)不變號的廣義積分或絕對收斂的廣義積分有效）（1）無窮積分；①設(shè)/（X）當(dāng)X、ci時(shí)'為非負(fù)函數(shù)'￡L/（x）

10、)fg{x)dx收斂=>ff(x)dx收斂；JaJa+r+°°2)fMcbc發(fā)散=>g(x)dx發(fā)散；JaJa②比較判別法的常用形式；K4/*4-00DS

11、/(x)

12、<—，7?>1時(shí)，則f

13、/(兀)

14、加

15、攵斂XM^+002)^

16、/(X)

17、<—,p<耐，則［

18、/(朗

19、心發(fā)散③極限形式：若/（無）在［q,+x）上連續(xù)，且limI/（x）1=I,那么x—>+eb1）當(dāng)05/<+8,/?〉1時(shí)，則

20、/（x）

21、dx收斂；Jarb2）當(dāng)0l時(shí),則

22、/（兀）

23、必發(fā)散。Ja（2）瑕積分（為b唯一瑕點(diǎn)）Mfb

24、①若

25、/（x）

26、W——,（M>0），0vpvl,則］

27、/（x）

28、6k收斂；（b-xYJa芮尹（A/〉0）,八1,則屮（說發(fā)散且lim(Z?-x)q/(x)=1x^b~1)當(dāng)05/v+oo,〃v1時(shí)2)當(dāng)0v/5+oo,pni吋②極限形式（唯一瑕點(diǎn)b）若/（無）在［a.b］上連續(xù),那么ch,則

29、f(x)dx收斂;Jarb,則

30、f(x)dx發(fā)散。另外，對瑕點(diǎn)x-a或x=c有類似的結(jié)論。2、其他形式的判別法（下面兩個(gè)判別法常用于判定條件收斂）（1）阿貝爾判別法：若/（無）在［d,+oo］上可積，g（x）單調(diào)有界,+

31、f(x)9g(x)dx收斂。（2）狄里克萊判別法：若/（兀）有有界的原函數(shù)F（x）=［/⑴力（即存在A/>0,f（t）dt-ooJB歸認(rèn)冷肥IX如）1213陀「h尹r

32、4-oo212同樣可得xe~xdx=—e~(Jc2所以fxe~xdx=OJ—co即無窮積分收斂。(2)無=1為瑕點(diǎn)。arcsinefiarcsinx7“zax-limJo-o+jor1一￡=limarcsinxd(arcsinx)yJo=lim—(arcsinx)2『—o+21o7T-lim—[arcsin(l-￡*)]'=——曲+28故瑕積分收斂。例2判別下面積分的收斂性r+°°dxX22（"加為林解用比較判別法（別積函數(shù)在［2,+oo）連續(xù)，J1為止）因?yàn)楫?dāng)x>2時(shí)’（x—］）（］nxr>*（inxr若2=1,則f4

33、-00dxA=lim[ln(lnQ]叮=+只，由比較判別法知原積分發(fā)散J2xlnxatz若2V1,則「dx二—L-lim[(ln^V二+ooJ2x(xf]-2原積分也發(fā)散。若2>1,而2日⑴）”o又當(dāng)x>3時(shí)，有嚴(yán)dx(x-l)(lnx/<(x-l)[ln(x-l)lA因?yàn)镴dx3（T［噸-1）廠厶凹M（Z）嚴(yán)卜