資源描述：
《64特征根與特征向量》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、6.4特征根與特征向量授課題目：6.4特征根與特征向量授課時數(shù)：4學(xué)時教學(xué)目標：掌握特征根與特征向量的定義、性質(zhì)與求法教學(xué)重點：特征根與特征向量的定義與性質(zhì)教學(xué)難點：特征根與特征向量的求法教學(xué)過程：一.特征根與特征向量的定義與例子1.一個問題對n維線性空間V的線性變換σ，能否在它所對應(yīng)的相似矩陣類中找到一個最簡單的矩陣――對角矩陣來表示．換句話說，能否在V中找到一個基{α1，α2，…，αn}，使σ在這個基下的矩陣是對角形即有（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））＝(α1，α2，…，αn)具體寫出來，就是σ（αi）=
2、αi,i=1,2,…,n.由上面的分析可知，要尋找這樣的基（如果有的話），首先要尋找滿足條件σ（ξ）=ξ的數(shù)和非零向量ξ．2.特征根與特征向量的定義定義1 設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的一個線性變換．如果對應(yīng)F中的一個數(shù)λ，存在V中的非零向量ξ，使得σ（ξ）=λξ（1）那么λ就叫做σ的一個特征根（值），而ξ叫做σ的屬于特征根λ的一個特征向量．其中（1）式的幾何意義是：特征向量ξ與它在σ下的象σ（ξ）保持在同一直線L（ξ）上，＞0時方向相同，＜0時方向相反，＝0時，σ（ξ）=0．3.幾個基本事實設(shè)是σ的特征根，存在如下基本事
3、實：1）若ξ1，ξ2，是σ的屬于特征根的特征向量，則當ξ1+ξ2≠0時，ξ1+ξ2也是σ的屬于特征根的特征向量．因為σ（ξ1+ξ2）＝σ（ξ1）+σ（ξ2）＝（ξ1+ξ2）．2）若ξ是σ的屬于特征根的特征向量，則對任意k∈F，k≠0，kξ也是σ的屬于特征根的特征向量，這是因為kξ≠0，且σ（kξ）＝kσ（ξ）＝k（ξ）＝（kξ）．3）一個特征向量只能屬于一個特征值．事實上，設(shè)ξ≠0是σ的屬于特征值與的特征向量，就有σ（ξ）＝ξ＝′ξ，（-′）ξ＝0，而ξ≠0，只有-＝0，從而＝．從上面的性質(zhì)可知，把σ的屬于特征根的全部
4、特征向量再添上零向量組成V的一個子集，它對V的加法和數(shù)量乘法作成V的一個子空間，記為Vλ．Vλ={ξ∈V
5、σ（ξ）=ξ},稱為σ的屬于特征根的特征子空間．當是σ的特征根時，Vλ≠{0}，因此，Vλ含有無限多個向量．但我們只要求出Vλ的一個基，Vλ就被確定了．4.幾個例子例1 在V3中，σ是關(guān)于過原點的平面H的反射，它是一個線性變換．那么H中的每個非零向量都是σ的屬于特征根1的特征向量，Vλ就是平面H．與H垂直的非零向量都是σ的屬于特征根-1的特征向量，即V-1就是直線L（見圖6.5）.圖6.5例2 在V2中，σ是繞原點
6、反時針旋轉(zhuǎn)φ角的線性變換，由幾何直觀可看出，當φ≠kπ時（k為整數(shù)），σ沒有特征根．例3 設(shè)V表示定義雜實數(shù)域上的可微分任意次的實函數(shù)的全體構(gòu)成的線性空間．令σ（f(x)）=f′(x),σ是V的線性變換．對于每個實數(shù)，有σ（eλx）=λeλx.所以，是σ的特征根，而eλx是σ的屬于的特征向量．二.特征根與特征向量的求法1.問題的轉(zhuǎn)化直接由定義來求線性變換的特征值與特征向量往往是困難的，我們可用線性變換的矩陣來解決這個問題．設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間，取定它的基｛α1，α2，…，αn｝，令線性變換σ在這個基下的矩陣是A
7、＝（aij）.如果ξ＝k1α1+k2α2+…+knαn是線性變換σ的屬于特征根的一個特征向量，那么，σ（ξ）關(guān)于基｛α1，α2，…，αn｝的坐標是而λξ的坐標是這樣，就有或這說明特征向量ξ的坐標（k1，k2，…，kn）是齊次線性方程組（2）的非零解．從而（2）的系數(shù)行列式為（3）反過來，如果∈F，滿足等式（3），齊次線性方程組（2）有非零解（k1，k2，…，kn），ξ＝k1α1+k2α2+…+knαn滿足等式（1），是σ的一個特征根，ξ就是σ的屬于特征根的特征向量．由上面分析，可以得到以下的結(jié)論1）∈F是σ的特征根的充
8、分必要條件是它滿足方程（3）；2）對于特征根，子空間Vλ中一切向量在基｛α1，α2，…，αn｝下的坐標正好構(gòu)成齊次線性方程組（I-A）X=0的在F上的解空間．實際上有Vλ與（I-A）X=0的解空間同構(gòu).Vλ的一個基｛β1，β2，…，βn｝可由齊次線性方程組（I-A）X=0的一個基礎(chǔ)解系｛η1，η2，…，ηn｝給出.（其中βi=(α1，α2，…，αn)ηi,i=1,2,…,r）.2.矩陣的特征多項式與特征根定義3 設(shè)A=(aij)是數(shù)域F上的一個n階矩陣，行列式叫做矩陣A的特征多項式．fA(x)在C內(nèi)的根叫做矩陣A的特征
9、根．設(shè)λ0∈C是矩陣A的特征根，而k0∈Cn是一個非零的列向量，使Ax0=λ0x0,就是說，x0是齊次線性方程組（λ0I-A）X=0的一個非零解．我們稱x0是矩陣A的屬于特征根λ0的特征向量．3.線性變換的特征根與矩陣的特征根的關(guān)系這里我們要注意：（1）如果σ關(guān)于某個基的矩陣是A,那么σ的特征根一定是A的特征根，但A的特征根卻不一
