特征中與特征向量

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1、《線性代數(shù)與空間解析幾何》哈工大數(shù)學系代數(shù)與幾何教研室王寶玲特征值與特征向量2007.9第六章1特征向量與特征向量相似矩陣矩陣的相似對角化本章的主要內(nèi)容2在工程技術中有許多與振動和穩(wěn)定性有關的問題（如：機械、電子、土木、化工、生態(tài)學、核物理、彈性力學、氣體力學),在數(shù)學中,解微分方程組及簡化矩陣的計算等,都會遇到這樣的問題：1.對于給定的3階方陣A,是否存在非零列向量X,使向量AX與X平行？2.如果存在這樣的X,則該如何求這個X？AX=?X問題的提出：3設則對于有而對于可見有些向量X,有AX與X平行這個性質(zhì),而其它向量則沒有這個性質(zhì).有這樣性質(zhì)的向量稱為特征向量.例146.1特征值

2、與特征向量特征值與特征向量的概念特征值與特征向量求法特征值與特征向量的性質(zhì)實對稱陣的特征值與特征向量本節(jié)的主要內(nèi)容5設A是n階方陣,若存在數(shù)?及非零列向量X,使得則稱?是A的特征值,X是A的屬于特征值?的特征向量.1.若X=0,則A0=?0,(??)成立.2.幾何意義:向量AX=注AX=?X,1.定義6.1.1特征值與特征向量的概念6求方陣A的特征值:稱即為矩陣A的特征多項式,征值的問題就轉(zhuǎn)化為求特征方程根的問題.AX=?X(X?0)有非零解為矩陣A的特征方程,求矩陣特2.特征值與特征向量的求法7求方陣A的特征向量:求所對應的特征向量問題就轉(zhuǎn)化為求齊次線性方程組的非零解問題.由齊次

3、線性方程組解的性質(zhì)知特征向量有以下2條性質(zhì):(1)X是屬于的特征向量,則(2)是屬于的特征向量,則的非零解8對A的特征值,稱方程組的解空間為A的關于特征值的特征子空間.特征子空間:求A的特征值與特征向量的步驟如下:(1)由求A的特征值(2)分別把A的每個特征值代入方程組,求出它的基礎解系.則基礎解系的所有非零線性組合就是A的屬于的全部特征向量.9,求A特征值和特征向量及特征子空間.解(1)求A的特征值A的特征值為對,解方程組(2)求特征向量例210由得同解方程組:得基礎解系為得A的屬于-1的全部特征向量為是不全為0的任意常數(shù).11對,解方程組得同解方程組:得基礎解系為得A的屬于5的

4、全部特征向量為是不為0的任意常數(shù).12得A的關于特征值-1和5的特征子空間為：為任意常數(shù)為任意常數(shù)131.特征值的性質(zhì)性質(zhì)1設為n階矩陣A的特征值，則證由已知6.1.2特征值與特征向量的性質(zhì)14只能出現(xiàn)在乘積項中.另一方面,比較(1),(2)中的系數(shù)及常數(shù)項,得結(jié)論.15則設λ為n階方陣A的特征值,且1.有0特征值.2.A可逆注:A的特征值都非0.證則(X≠0)用數(shù)學歸納法可得,對?k?N,有性質(zhì)216若且A可逆,則例3(X≠0)，證且A可逆,則而X也是的屬于特征值的特征向量.定義法172.特征向量的性質(zhì)定理1如果?1,?2,…,?m是n階方陣A的互異特征值,則它們所對應的特征向量

5、X1,X2,…,Xm線性無關.證由已知對特征值個數(shù)m用數(shù)學歸納法.當m=1時,因為X1?0,所以結(jié)論成立.18設m-1個特征值時結(jié)論成立,考慮m的情形.A左乘(1)式等號兩端,得用?m乘(1)式兩端,得(2)式減(3)式,得即19k1(?1-?m)X1+…+km-1(?m-1-?m)Xm-1=0由歸納假設X1,X2,…,Xm-1線性無關.所以ki(?i-?m)=0，i=1,2,…,m-1由已知?i??m,i=1,2,…,m-1,得ki=0,i=1,2,…,m-1,代入(1)式,有kmXm=0,又Xm?0,所以km=0.故X1,X2,…,Xm線性無關.20設?1,?2,…,?s的是A

6、的s個互異的也線性無關.這個推論的證明與定理1類似.推論2若A有n個互異特征值,則A必有n個線性無關的特征向量推論1特征值,而是屬于?i的mi個線性無關的特征向量,i=1,…,s,則216.1.3實對稱陣的特征值與特征向量實對稱陣的性質(zhì):性質(zhì)1實對稱陣的特征值都是實數(shù).性質(zhì)2實對稱陣對應于不同特征值的實特征向量必正交.證設A是n階實對稱矩陣,?????是A的的特征值,且A??=????,A?2=?2?2往證?1T?2=0.22?1?1T?2=(?1?1)T?2=(A?1)T?2=?1TAT?2=?1T(A?2)=??T(?2?2)=?2?1T?2?(?1-?2)?1T?2=0??1

7、T?2=0.實對稱陣的ri重特征值?i一定有ri個線性無關的實特征向量.即方程組的基礎解系恰好含有ri個向量.性質(zhì)323設三階實對稱陣A的特征值為-1,1,1,-1所對應的特征向量為(0,1,1)T.求1對應的特征向量.解設X=(x1,x2,x3)T,是不全為0的任意常數(shù).例424本節(jié)主要內(nèi)容相似矩陣的概念方陣相似對角化的條件與方法幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)實對稱矩陣正交相似對角化的方法6.2相似矩陣25設A,B是兩個n階方陣,如果存在可逆矩陣T,使T-1AT=B則稱A與B相