《相似圖形》復(fù)習(xí)要點

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1、《相似圖形》復(fù)習(xí)要點福建　周奕生《圖形的相似》是幾何的重要內(nèi)容之一，同平移、翻折、旋轉(zhuǎn)這些全等變換一樣，相似也是一種變換，主要研究圖形的形狀關(guān)系．性質(zhì)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例１．兩角對應(yīng)相等；２．兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等；３．三邊對應(yīng)成比例．位似成比例的線段比例的性質(zhì)圖形相似三角形相似應(yīng)用黃金分割判定一、知識結(jié)構(gòu)二、復(fù)習(xí)目標(biāo)１．認(rèn)識物體和圖形的相似，了解相似圖形的概念；２．了解線段的比、成比例的線段概念和黃金分割；３．能夠判定兩個三角形相似，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決一些簡單的實際問題；４．了解位似圖形的概念，能用位似變換將一個圖形進(jìn)行放縮；５．能夠利用直角

2、坐標(biāo)系來描述圖形的位置．三、知識要點本章的重點是相似三角形的性質(zhì)和三角形相似的判定；運用圖形相似的性質(zhì)解決簡單的實際問題是本章的難點，也是重點之一．主要知識點是：１．線段比：在同一長度單位下，兩條線段長度的比叫做線段比．這里要特別注意兩條線段的長度單位要統(tǒng)一．比如：線段AB＝３cｍ，CD＝２０ｍｍ，那么應(yīng)先把線段AB與CD的長度單位化為統(tǒng)一，如果以cｍ為單位，則，如果以ｍｍ為單位，則．可見，線段比與所采用的度量單位無關(guān)．２．比例尺：在地圖或圖紙上，圖上距離與它所表示的實際距離的比叫做比例尺，通常寫成１∶ｍ的形式．這里也要注意圖上距離與實際距離的長度單位也是要統(tǒng)一

3、的．事實上，比例尺是特殊的線段比．３．比例線段：如果四條線段，其中兩條的比等于另外兩條的比，那么稱這四條線段成比例線段，簡稱比例線段．可見比例線段是線段之間的一種數(shù)量關(guān)系．例如：已知線段A＝３，B＝６，C＝１２，D＝２４，由，可得，從而可知A，B，C，D是比例線段；另一方面，如果從，5也可知這四條線段成比例．這里也特別注意：如果A、B、C、D成比例，那么比例式是，不能隨意更改比例式；４．比例的性質(zhì)：（１）基本性質(zhì)：如果，那么AD＝BC；反過來，如果AD＝BC（A，B，C，D都不等于０），那么．可見比例式與等積式可以相互轉(zhuǎn)化．（２）合比性質(zhì)：如果，那么．此性質(zhì)可以

4、記作：在一個比例式中，比的分子分別加上或減去各自比的分母，所得比例式仍然成立．（３）等比性質(zhì)：如果（B＋D＋…＋ｎ≠０），那么．這里要特別注意B＋D＋…＋ｎ≠０這個條件．（４）黃金分割：如果點C把線段AB分成AC和BC，且（或＝AB·BC），那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比值為（約等于0.618）叫做黃金比．注意：一條線段有兩個黃金點；５．相似的圖形：形狀相同，大小不一定相同的兩個圖形稱為相似的圖形，簡稱相似形；６．相似多邊形：各角對應(yīng)相等、各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，其中對應(yīng)邊的比叫做相似比．全等多邊形就

5、是相似比為１的相似多邊形；７．相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．注意：各角對應(yīng)相等的多邊形不一定相似，比如兩個矩形，它們的四個角對應(yīng)相等，但不一定相似；８．相似三角形：相似多邊形中最簡單的特例．９．相似三角形的判定：（１）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（２）兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似；（３）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；注意：三角相似的判定與三角形全等的判定十分類似．１０．相似三角形的性質(zhì)：若兩個三角形相似，則（１）對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；（２）對應(yīng)高、中線和角平分線的比都等于相似比；（３）周長的比等于相似比；（４）面積的比等于相似

6、比的平方；注意：運用相似三角形可以解決許多實際問題．5１１．位似圖形：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么這兩個多邊形叫做位似，該交點叫做位似中心．可見，位似是特殊的相似，其相似比又叫做位似比．位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比．利用位似變換可以輕易地將圖形放大或縮?。?、典例剖析例１　如圖，CD為直角三角形ABC斜邊AB上的高，則圖中共有幾個三角形？這些三角形相似嗎？為什么？你能從中得出什么結(jié)論？ＡＤＢＣ分析：要判定三角形是否相似，先從最簡單的“兩角對應(yīng)相等”入手，尋找是否存在兩個角對應(yīng)相等？在△ABC與△ACD中，顯

7、然有∠ACB＝∠ADC＝９０°，∠A為公共角，故△ABC∽△ACD；同理，△ABC∽△CBD，因此，圖中三個三角形都相似．由此可得這樣的結(jié)論：直角三角形斜邊上高分三角形所得兩個直角三角形與原三角形都相似．例２　已知２A＝３B＝４C≠０，求的值．分析：先求出A∶B∶C的值，再運用參數(shù)法，用ｋ表示A、B、C．已知的等式三邊同時除以２、３、４的最小公倍數(shù)１２，得，設(shè)A＝６ｋ，B＝４ｋ，C＝３ｋ，則＝＝．例３　已知點C是線段AB上一點，AC＝，BC＝，試判斷點C是不是線段AB的黃金點？為什么？分析：欲知點C是不是AB的黃金點，只須判斷AC或BC與AB的比值是不是等于黃金

8、比？因此，應(yīng)先求出AB的