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《利用線性變換求線性常系數(shù)非齊次微分方程的特解new》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、第31卷第4期青島理工大學學報Vol.31No.42010JournalofQingdaoTechnologicalUniversity利用線性變換求線性常系數(shù)非齊次微分方程的特解ab滕延燕,吉喆(青島理工大學a.理學院;b.土木工程學院,青島266033)(n)(n-1)x*摘要:線性常系數(shù)非齊次微分方程y+a1y++any=e[Pl(x)cosx+Pn(x)sinx]的特解y一*般采用待定系數(shù)法求解,但待定系數(shù)求解需要計算y的1至n階導數(shù),這相當麻煩.筆者引入一個線性變換,把y*的1至n階導
2、數(shù)表示成向量的內積,而不必計算出這些導數(shù),從而較大的減少了計算量,最后給出了一個詳細的應用實例.關鍵詞:微分方程;線性變換;特解中圖分類號:O175.1文獻標志碼:A文章編號:16734602(2010)04010403SolvingParticularSolutionsofConstantCoefficientNonHomogeneousNthOrderLinearDifferentialEquationsbyLinearTransformationsabTENGYanyan,JIZhe(
3、a.SchoolofScience;b.SchoolofCivilEngineering,QingdaoTechnologicalUniversity,Qingdao266033,China)Abstract:Anundeterminedcoefficientisageneralmethodofsolvingtheparticularsolution*(n)(n-1)yofanonhomogeneousnthorderlineardifferentialequationy+a1y++any=xe[Pl
4、(x)cosx+Pn(x)sinx].Thismethodneedstocomputethe1sttonthorderderivatives,whichisverycomplex.Inthepaperthesederivativesareexpressedbyalineartransformintodotproductsofvectorswithoutbeingcomputedanymore,whichfairlyreducesthecomplexityofcalculation.Inconclus
5、ion,anexemplaryapplicationofthismethodisgiven.Keywords:differentialequation;lineartranslation;particularsolution[15]關于線性常系數(shù)非齊次微分方程的特解問題深受人們的重視,已有許多研究成果見諸報道.筆者討論了一種較為復雜的線性常系數(shù)非齊次微分方程:(n)(n-1)xy+a1y++any=e[Pl(x)cosx+Pn(x)sinx](1)其特解一般采用待定系數(shù)法,即先根據該方程對應齊
6、次方程的特征方程的特征根和非齊次項將特解的形式設為*kxy=xe[Pm(x)cosx+Pm(x)sinx](2)計算式(2)的1至n階導數(shù)后再代入式(1),建立方程組并求解得到式(2)的待定系數(shù).此法的困難在于計*算式(2)的1至n階導數(shù),計算量相當大,而且隨n的增大而急劇增長.筆者引入一個線性變換,把y的各收稿日期:20091130作者簡介:滕延燕(1978),女,山東齊河人.講師,主要從事圖論、組合數(shù)學及高等數(shù)學研究.Email:sdty2@126.com.第4期滕延燕,等:利用線
7、性變換求線性常系數(shù)非齊次微分方程的特解105階導數(shù)表示成向量的內積,避免了直接求解式(2)的各階導數(shù),這樣再代入式(1)就能夠利用內積的性質*轉化為矩陣的運算,從而容易定出y中的待定系數(shù).1定理及證明*定理:設y為n階線性常系數(shù)非齊次方程(1)的特解,其中k2km+kxPm(x)=a0+a1x+a2x++akx+am+kx,k2km+kxPm(x)=b0+b1x+b2x++bkx+bm+kx,ai,bi(i=k,,m+k)為待定系數(shù),其余為0.Tc=(a0,a1,a2,am+k,b0,b1,
8、b2,,bm+k)xxm+kxxxm+kxTe=(ecosx,xecosx,,xecosx,esinx,xesinx,,xesinx)*(n)(n)n2m+2k+2則存在線性變換T使得y=[c,e]=[T(c),e],(n!1),這里T(x)=Ax,(!x?R),其中12??m+k?A=,未寫出的元素是0.12???m+k證明:(利用數(shù)學歸納法
