完全交和加權完全交拓撲

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1、摘要1986年在美國加州Arcta舉行的代數(shù)拓撲會議上，與會者討論了代數(shù)拓撲學的一些前沿有待解決的問題([12，page438-456])．其中數(shù)學家M．Kreck，A．Libgober，J．Wood提出這樣一個問題：完全交K(d)的微分同胚型是否由下列的量來決定：維數(shù)，全次數(shù)，相交型，Arf不變量，Stiefel-Whitney類，Pontrjagin類．完全交％(d)：=‰(dl?．，西)是復射影空間Clip“打中7．個橫截相交的齊次多項式的零點的軌跡，dl?．，西是r個齊次多項式的次數(shù)．d=(d1?．，西)稱為多重次數(shù)，積d=dl?

2、cfr稱為全次數(shù)，％(d)是一個禮維復流形．相交型和心f不變量(Kervaire不變量)由全次數(shù)來決定，示性類都可以寫成多重次數(shù)的多項式([301)，所以試圖用一些拓撲的量來分類完全交，這是一個有趣的問題，但這也是一個很棘手的問題．關于這方面的文獻有很多，參見[6，18，19，35，38，39，40，54l等．其中大部分結果都是在對全次數(shù)的素數(shù)分解做了一定限制條件后得到的．Kreck([35])引入了一個修正的手術理論，將光滑流形的微分同胚分類問題歸結到配邊不變量上．ClaudiaTracing([54】)按照這個理論得到了一些完全交的微

3、分同胚分類的結果，這個結果的條件要求完全交的全次數(shù)含有較多的小素數(shù)因子．不對全次數(shù)的素數(shù)分解加以限制，方復全和StephanKlauss對于復4維的光滑完全交進行了徹底的同胚分類(cf．【19】)．本文的第二部分，我們主要應用Kreck的修正手術理論來給出復5，6，7維光滑完全交的一個同胚分類，此結果推廣了【19】．定理A．當復維數(shù)他=5，6，7，兩個完全交五。(d)，％(d，)同胚當且僅當他們具有相同的全次數(shù)d，Pontrjagin類和Euler示性類．如同f19，35]，證明上定理的關鍵是將同胚分類問題轉化為配邊問題，所以關于配邊群的

4、計算是必要的．根據(jù)Pontrjagin-Thom構造，此配邊群同構于Thorn譜的穩(wěn)定同倫群．Adams譜序列是計算穩(wěn)定同倫祥的有力工具．構造Adams譜序列，必須知道譜序列的易項，我們利用代數(shù)Atiyah-Hirzebruch譜序列(簡記為AAHSS)和極小自由分解來計算Adams譜序列易項．由Adams譜序列得到穩(wěn)定同倫群后，通過比較Atiyah-Hirzebruch譜序列和Adams譜序列，我們可以對此配邊群中的撓元和自由元進行分析．排除撓元對分類所可能產(chǎn)生的障礙，最終完成我們定理的證明．加權射影空間艫押(w)：=妒押(蛐?．，‰+

5、r)和加權完全交五；(d；W)：=％(dl?．，dr；蜘?．，‰押)(簡記為WCI)是普通的復射影空間，完全交的一種推Ⅱ摘要廣．加權射影空間是復射影空間通過加權作用得到的商空間．當這個加權作用平凡，也就是說權w=(1?．，1)，加權射影空間就是普通的射影空間，加權完全交也就是普通的完全交．p+r(w)是復(n+r)維的跡形(orbifold)，如果權w=(‰?．，‰+r)相對互素，即對于任何i≠歹，最大公因子gcd(wi，％)=1，乘積n％整除全次數(shù)d：=l-I；：1嗚，則加權完全交％(d；w)是復佗維的光滑流形．在本文的第三部分，我們討

6、論光滑加權完全交的同倫型．與完全交不同，經(jīng)典的Lefschetz截面定理此時不可用，對加權完全交的拓撲知之甚少．首先我們將給出加權完全交嵌入到加權射影空間的相對拓撲．命題B．如果權W=(0-70?．，03n+r)相對互素，則內(nèi)射i：％(d；w)一p+r(w)是n等價，即當七

7、[39】)，我們可以證明如下的定理．定理C．設T／,=2m+l，如果全次數(shù)d=dl?西沒有小于m+2的素數(shù)因子，W相對互素，則光滑加權完全交．k(d；w)的同倫型由n，d和Euler示性類，Kervaire不變量所決定．加權射影空間的復K群由Amrani([4])計算．作為一個完備補充，我們對加權射影空間的實K群也傲一個描述．命題D．如果權w=(uo?．，‰)是奇的，即蛐?．，‰都是奇數(shù)，則加權射影空間的實K群Ⅳ0(p(w))可以分解成一些整數(shù)群Z和撓群Z2的直和，并且如果佗≠1mod4，KD(艫(w))是自由群；如果n=1mod4，KD

8、(p(w))有一個Z2撓群的直和項．在本文的第四部分，我們將考慮定義在同一個加權超曲面中的兩個光滑加權完全交的微分同胚型．此時應用Kreck的修正手術理論，我們需要建立—個法m一1)光滑型，由