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《變步長ode方法求解非線性方程組new》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2003年7月西安郵電學(xué)院學(xué)報(bào)July.2003第8卷第3期JOURNALOFXIANUNIVERSITYOFPOSTANDTELECOMMUNICATIONSVol.8No.3變步長ODE方法求解非線性方程組周巖,馮國勝(同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,上海200092)摘要:將解非線性方程組轉(zhuǎn)化為解常微分方程組的初值問題,用常微分方程數(shù)值解法,以變步長的方式求其解。文中提出兩個(gè)變步長的算法,給出一些數(shù)值例子,說明算法性能良好,并對(duì)算法的效率進(jìn)行分析。關(guān)鍵詞:非線性方程組;連續(xù)法;常微分方程數(shù)值解法;變步長中圖分類號(hào):O241.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章
2、編號(hào):1007-3264(2003)03-0066-04記(t)=(x(t))=(x(0))-t(5)引言將(4)用于求解非線性方程組,我們得到:當(dāng)T=(x(0))時(shí),(T)=(x(T))=0。因此右求解非線性方程組F(x)=0(1)F?(x(T))?0,由(x(T))=0可知F(x(T))nn(其中,F=DRR)可等價(jià)于求解下列非線=0,x(T)就是問題(1)的解x*。文章[4],[5]利性最小二乘問題:用(4)提出了求解非線性方程組的方法。min(x)(2)本文采用變步長常微分方程初值問題的數(shù)值解n1T12法,求解問題(4)得到方程組(1)的解。在以下部分
3、其中:(x)=F(x)F(x)=!fi(x)(3)22i=1分別給出算法描述,數(shù)值例子以及對(duì)于算法的分析。[1],[2]借助于常微分方程初值問題,提出了求解問題(2)的連續(xù)極小化方法。在[3]采用如下的常微1算法描述分方程初值問題:(x)x?(t)=-2算法采用內(nèi)外兩層迭代。外層迭代產(chǎn)生序列#(x)#2(4)(k)(k){x},若x不是(1)的解,則在內(nèi)層迭代中以(0)x(0)=x0(k)y=x作為初值,用變步長方法求解(4),得到求解無約束最優(yōu)化問題(2)。在一定條件下,(4)確(k+1)yi,i=1,2,%,nk,并以x=yn。在內(nèi)層迭代定了一條光滑的解曲線x=
4、x(t)。關(guān)于(4),有如下k中,對(duì)于給定的步數(shù)nk,步長取為h=Tk/nk,采用定理:以下兩種變步長原則,求解如下常微分方程初值問定理1[3](a)存在最大區(qū)間I=[0,T],使問題:題(4)在區(qū)間I上有唯一的解x=x(t),而且此解(y)可連續(xù)的延拓到I=[0,T]。y?=f(t,y)=-2#(y)#2(6)(b)(x(T))=0。y(t0)=y0記(t)=(x(t)),按照復(fù)合函數(shù)的微分法1.1變步長原則dT則,得到=(x)x?(t)=-1,于是有dt1.1.1變步長原則一收稿日期:2003-03-03作者簡介:周巖(1979-),女,山東青島
5、人,同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系碩士研究生。馮國勝(1945-),男,上海市人,同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系教授。第3期周巖等:變步長ODE方法求解非線性方程組+67+假設(shè)計(jì)算yt沒有誤差,即yt=y(t),當(dāng)h較小h第一步:以步長h,分別用p階常微分?jǐn)?shù)值解2h時(shí),以步長h,分別用P階方法求得yt+h,yt+h其法求出y122i+1,yi+2,i=0,1,2,%,nk局部截?cái)嗾`差分別為:若(yi+1)=!1?k,0
6、(
7、y(ti+h))-(yi+1)
8、)!2(h),222若(yt+h)相對(duì)于Tk較小,說明原有步長不太0)!2)0,或者h(yuǎn)合適,跳出內(nèi)層迭代;否則根據(jù)臺(tái)勒公式有:(y(ti+))-(yi+1)T221p+1(y(t+h))-(yt+h)&(yt+h)(y(t+h)-
9、()
10、)!3,(y(ti+h))-(yi+1)2yt+h),若(y(t+h))-(yt+h)與誤差估計(jì)(7)相0
11、1,轉(zhuǎn)第1步。(y(t+h))-(yt+h)與y(t+h)-yt+h,(k+1)迭代nk步后,取x=yn轉(zhuǎn)(3)。khh(y(t+))-(yt+h)與y(t+)-yt+h有相k+12222(3)若#F(x)#?<1,則迭代終止;否則同的階數(shù),則成立k?k+1,轉(zhuǎn)(2)。h1.2.2算法二
12、(y(t+))-(yt+h)
13、221p+1用變步長原則二的算法二與算法一類似,只是&()(8)
14、(y(t+h))-(yt+h)
15、2將第一步用如下算法替代。若滿足
