如何把握概率的概念

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1、如何把握概率的概念概率的內(nèi)容在中學(xué)已經(jīng)出現(xiàn)好幾年了。從目前在教學(xué)中的實際情況來看，主要的問題是，教學(xué)的重點被放在了用排列組合計算古典概率上，放在了概率、均值、方差等的數(shù)值計算上，而忽略了對概率等概念本身的理解。另外，現(xiàn)在高考中的應(yīng)用題大都變成了概率題，實際上，這些題目只是計算一些有應(yīng)用背景的概率值，并不能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用。這種教學(xué)使得學(xué)生學(xué)完概率這部分內(nèi)容后，并不能很好地認(rèn)識周圍發(fā)生的隨機(jī)現(xiàn)象，如天氣預(yù)報，彩票中獎等。而中學(xué)引入概率的內(nèi)容，是希望學(xué)生能對隨機(jī)現(xiàn)象有一個初步的認(rèn)識，使他們在今后的學(xué)習(xí)和工作中，對隨機(jī)現(xiàn)

2、象中出現(xiàn)的一些問題，能有一個正確的分析。本文將主要談概率的概念和如何理解其實質(zhì)。概率的定義???概率的概念籠統(tǒng)說并不難，但若深入到理論或哲學(xué)中去討論，問題就有一大堆。大多數(shù)數(shù)學(xué)家、概率論專家并不關(guān)心這種討論，通常把這種問題留給哲學(xué)家去處理。在數(shù)學(xué)上，概率的概念是用公理化的形式定義的。即使是大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)生，由于他們大都不學(xué)‘測度論’，也無法完整地理解這種公理體系的意義。這里希望教師了解的是，在各種教科書中出現(xiàn)的‘概率統(tǒng)計定義’,‘古典概率定義’,‘幾何概率定義’都是一些描述性的說法，教師不應(yīng)該過分地去揣摩，探究那里的用

3、語，而應(yīng)理解其實質(zhì)。例如，概率的統(tǒng)計定義通?？梢赃@樣敘述：在相同的條件下做大量的重復(fù)試驗，一個事件出現(xiàn)的次數(shù)k和總的試驗次數(shù)n之比，稱為這個事件在這n次試驗中出現(xiàn)的頻率。當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，頻率將‘穩(wěn)定’在一個常數(shù)p附近。n越大，頻率偏離這個常數(shù)p大的可能性越小。這個常數(shù)p稱為該事件的概率。??????有些人去探討‘試驗’等詞的定義。把‘做一次試驗’定義為‘條件實現(xiàn)一次’。事實上，‘做一次試驗’并不難理解。如擲一個硬幣，摸三個紅球，取十個產(chǎn)品等等，個別復(fù)雜的試驗也不難向?qū)W生解釋。把‘做一次試驗’定義為‘條件實現(xiàn)一次’，

4、反而更難讓人理解。什么叫‘條件’？什么叫‘實現(xiàn)’？這顯然是不恰當(dāng)?shù)?。何況‘試驗’根本不是數(shù)學(xué)中的名詞。我們要清楚上述定義只是描述性的，而且它有循環(huán)定義之嫌。因為定義中出現(xiàn)了‘可能性’。這指的就是概率.(類似地在古典概率定義中通常出現(xiàn)‘等可能性’)。你可以設(shè)法避免這類詞出現(xiàn)，但其本質(zhì)的意義無法避免。事實上，概率的統(tǒng)計定義的數(shù)學(xué)描述是（弱）貝努里大數(shù)律（老師們在大學(xué)都學(xué)過）：??????????????它說的是：當(dāng)試驗次數(shù)時，一個事件發(fā)生的頻率與某個常數(shù)p的偏差大于任一個正常數(shù)的可能性趨于零。之所以不能用這個式子中的常數(shù)p

5、作為‘概率’的定義，是因為在這個式子中已經(jīng)有了‘概率’。那么，我們在中學(xué)的教學(xué)中，應(yīng)該如何把握概率的概念呢？‘理解其實質(zhì)’是指什么呢？我想主要應(yīng)該理解以下幾點：(1)?????我們所討論的現(xiàn)象是可以做‘重復(fù)試驗’的。換句話說，并非所有不確定現(xiàn)象都是概率論研究的對象。例如，本·拉登是否還活著，某某人今天臉色不好是否不高興，等等。這類問題沒有重復(fù)試驗的意義，屬于人們的主觀猜測與愿望。盡管人們有時也說：‘十有八九他不高興’,‘我認(rèn)為拉登活著的可能性只有百分之十’。這被稱為主觀概率。對主觀概率的研究并非沒有意義，但并非我們概率

6、論研究的對象。概率論描述的是可以重復(fù)試驗的模型?！貜?fù)試驗’是指條件相同下的試驗，嚴(yán)格說在現(xiàn)實中兩次試驗條件完全相同是不可能的，這里給出的是數(shù)學(xué)模型。至于現(xiàn)實中哪些問題能用這個數(shù)學(xué)模型來近似描述，這是另一個問題。（2）頻率和概率的關(guān)系。頻率反映了事件發(fā)生頻繁的程度，從而可以用來度量事件發(fā)生的可能性大小。但頻率是隨機(jī)的，是這n次試驗中的頻率。換另外n次試驗，一般說，頻率將不同，而概率是一個客觀存在的常數(shù)。因此，人們用概率來度量事件發(fā)生的可能性。不過，在現(xiàn)實中，概率往往是不知道的，通常用頻率來估計概率。恰如在現(xiàn)實中，一個物

7、體的體積是一個客觀的常數(shù)，但其值是未知的，我們是用測量值來估計其體積，而每次測量都會有誤差（即測量值是隨機(jī)的）。(3)概率反映的是多次試驗中頻率的穩(wěn)定性。有人往往錯誤地以為，擲一個均勻硬幣，正面出現(xiàn)的概率等于二分之一，就應(yīng)該兩次試驗中出現(xiàn)一次正面。擲一個均勻骰子，每擲六次，各點都應(yīng)該出現(xiàn)一次。否則就是不均勻。事實上，頻率的穩(wěn)定性反映的是大量試驗中出現(xiàn)的性質(zhì)，其穩(wěn)定性要在試驗次數(shù)很多時才體現(xiàn)出來。對個別的幾次試驗，由于其隨機(jī)性，是無法預(yù)料的。(4)出現(xiàn)頻率偏離概率較大的情形是可能的，這是隨機(jī)現(xiàn)象的特性。在概率的教學(xué)中，對

8、一些學(xué)生容易產(chǎn)生誤解的地方，有人建議用試驗的辦法幫助學(xué)生理解，這當(dāng)然是很好的。例如，在討論抽簽與抽取順序無關(guān)時，就可以用試驗來模擬。但必須注意到頻率偏離概率大的情形。例如,扔一百個均勻硬幣，一面出現(xiàn)41個，另一面出現(xiàn)59個，是不奇怪的。對此教師應(yīng)有充分的認(rèn)識。（5）結(jié)果的隨機(jī)性不同于結(jié)果未知。比如，至今人們還不知道哥德巴赫猜想是否